ポアソン分布の漸化式

質問

P(x+1;λ)の漸化式はどのようなものになるか？助けてえええ。。：（
漸化式の基本もあまりわからない

回答No.1

yyssaa · ベストアンサー

P(x;λ)=(λ^x){e^(-λ)}/x!　だから
P(x+1;λ)={λ^(x+1)}{e^(-λ)}/(x+1)!
={1/(x+1)}[{λ^(x+1)}{e^(-λ)}/x!]
={λ/(x+1)}[(λ^x){e^(-λ)}/x!]
={λ/(x+1)}*P(x;λ)
よって
P(x+1;λ)={λ/(x+1)}*P(x;λ)・・・(1)
(1)によりP(x+1;λ)がP(x;λ)の関数で表されているので、
これが漸化式といわれるものです。さらに
(1)でx=x-1とおくと
P(x;λ)=(λ/x)*P(x-1;λ)・・・(2)
(1)に代入すると
P(x+1;λ)={λ/(x+1)}*P(x;λ)={λ/(x+1)}*(λ/x)*P(x-1;λ)
=[λ^2/{(x+1)x}]*P(x-1;λ)・・・(3)
(2)でx=x-1とおくと
P(x-1;λ)={λ/(x-1)}*P(x-2;λ)
(3)に代入すると
P(x+1;λ)={λ/(x+1)}*P(x;λ)={λ/(x+1)}*(λ/x)*P(x-1;λ)
=[λ^2/{(x+1)x}]*P(x-1;λ)
=[λ^2/{(x+1)x}]*{λ/(x-1)}*P(x-2;λ)
=[λ^3/{(x+1)x(x-1)}]*P(x-2;λ)
これを繰り返して
=[λ^(n+1)/{(x+1)x(x-1)・・・(x-n+1)}]*P(x-n;λ)
=[{λ^(n+1)}(x-n)!/(x+1)!]*P(x-n;λ)
とするとP(x+1;λ)はP(x-n;λ)の関数で表すことが出来ます。

お礼

早めに答えくれた本当にありがとう。！！よく理解できました！