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円と方程式の問題がわかりません
ereserve67の回答
- ereserve67
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(1)中心Cは線分ABの垂直二等分線:y-1/2=-1/3(x-7/2)すなわち x=5-3y 上にあるから,C(5-3t,t)とおける.これとlとの距離は |5-3t-2t+5|/√(1+4)=√5|2-t| これは円の半径でもあるから CA=√{(1-3t)^2+(t-2)^2}=√5√(2t^2-2t+1) ∴√5|2-t|=√5√(2t^2-2t+1) (2-t)^2=2t^2-2t+1,t^2+2t-3=(t+3)(t-1)=0 t=-3,1 円の方程式は(x-5+3t)^2+(y-t)^2=5(2-t)^2であるから, t=1のとき:(x-2)^2+(y-1)^2=5 t=-3のとき:(x-14)^2+(y+3)^2=125 (2)(1)の2円とlの接点をそれぞれP_1,P_2とすると,l:x=2y-5を円の方程式に代入して整理すれば t=1のとき:(y-3)^2=0∴x=1 t=-3のとき:(y-7)^2=0∴x=9 つまり, P_1(1,3),P_2(9,7) 直線l上の点Pが 直線ABに関してP_1と同じ側にあるとき ∠APB≦AP_1B 直線AB上にあるとき ∠APB=0 直線ABに関して点P_2と同じ側にあるとき ∠APB≦∠AP_2B よって最大値は∠AP_1Bと∠AP_2Bのうち小さくない方である. P_1A=(3,-1),P_1B=(2,-4)=2(1,-2) ∴cos∠AP_1B=(3+2)/√10√5=1/√2 P_2A=(-5,-5)=5(-1,-1),P_2B=(-6,-8)=2(-3,-4) ∴cos∠AP_2B=(3+4)/√2√25=(7/5)/√2 ∴cos∠AP_1B<cos∠AP_2B ∴∠AP_1B>∠AP_2B よって最大値は∠AP_1B=45° P_2の位置は図で確認してください.
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