円の方程式

質問

円Cの方程式は
(x-1)^2+(y-1)^2=4
である。
点A(5, 5)から円Cに接線を引き、その接点をP, Qとすると
∠APB=∠AQB=90°
であるから、4点A, P, B, QはABを直径とする円C'
C':(x-5)(x-1)+(y-5)(y-1)=0
上の点である。

この説明で、6行目までは解るのですが、7行目の円の方程式
C':(x-5)(x-1)+(y-5)(y-1)=0
がどうやって導かれたのかが解りません。
教えてくださいませ

回答No.5

info22

#2です。
A#2の補足について
>aベクトル⊥bベクトル ⇔ aベクトルとbベクトルの内積ゼロ
の関係が成立しないのでは？と思うのですが

そんなこと位自分で考えられたら同ですか。
ゼロベクトルになるならその場合だけ別に扱えばいいだけじゃないですか？
(1,1),(5,5)の2点だけですから、この2点が
円の方程式
(x-5)(x-1)+(y-5)(y-1)=0　⇔ (x-3)^2+(y-3)^2=8
を満たしている（自明）なので、
2点も含めていいではないですか。

回答No.4

mister_moonlight

相変わらず、書き込みミス。

（誤）半径は　ＡＢ＝√8
（正）半径は　ＡＢ/2＝√8

お礼

回等ありがとうございます。

なるほど、確かに単純ですね。
AとBの座標が分かってるんでしたね。

おかげさまで解決しました。
ありがとうございます。

回答No.3

mister_moonlight

単純な事なんだけどな。
Ａ（ａ、ｂ）、Ｂ（ｍ、ｎ）を直径の両端とする円の方程式は、（x-a）*（x-m）＋（y-b）*（y-n）＝0で求められる事は、教科書に載ってるはず。

この場合で、考えよう。
Ａ（5、5）、Ｂ（1、1）が直径の両端から、円の中心はＡとＢの中点（3、3）、半径は　ＡＢ＝√8　であるから、求める円は、（x-3）＾2＋（y-3）＾2＝8　→　x＾2-6x＋y＾2-6y＋10＝0.　
つまり、(x-5)(x-1)+(y-5)(y-1)＝0　と同じ。

回答No.2

info22

円C'上の点をD(x,y)とすると
点A(5,5)から点D(x,y)に向かうベクトルADは(x-5,y-5)
点B(1,1)から同じ点D(x,y)に向かうベクトルBDは(x-1,y-1)
Dが円C'の円周上の点だからベクトルADとベクトルBDは直交するから
ADとBDの内積がゼロなので
(x-5)(x-1)+(y-5)(y-1)=0
これが円C'上の点D(x,y)の満たす式、つまり、円C'の方程式なのです。

補足

回等ありがとうございます。

なるほど、
ADベクトル⊥BDベクトル ⇔ ADベクトルとBDベクトルの内積ゼロ
としたのですね。

しかし、疑問があるのですが、
任意の点DがAまたはBと一致してしまうとき、ADベクトルまたはBDベクトルが0ベクトルになってしまいます。この場合は、
aベクトル⊥bベクトル ⇔ aベクトルとbベクトルの内積ゼロ
の関係が成立しないのでは？と思うのですが

回答No.1

simaku

点Pの座標を（x,y)とおくと、BP⊥APより
y-1／x-1・y-5／x-5＝－1より
分母を払うとでます