単位円

質問

問題を解くのですが、√が入ってうまく解けません。わたしの解法が間違っているのでしょうか…？解法から解説、お願いします<(_ _)>

次の場合について、△ABCの残りの辺の長さと角の大きさを求めよ。

a=1+√3, b=√6, c=2

よろしくお願いします。

回答No.2

suko22 · ベストアンサー

」投稿した問題よりcosC=45°　→C=45°と書いてください。
これを使ってb/sinB=c/sinCの公式に当てはめる。
2/sin45°=√6/sinB
2sinB=√3
sinB=√3/2
0°≦B≦135°より（←限定できないので今回あまり意味がないが…）→三角形ができるので、書くなら、0＜Ｂ＜135°ですね。
B=60°、120°になる。

よって、
i）B=60°のとき、Aは
　　180°- (45°+60°)=75°
ii）B=120°のとき、Aは
　　180°- (45°+120°)=15°

i）ii）より
A=45°、B=60°、C=75°→A=75°、B=60°、C=45°
または、
A=45°、B=120°、C=15°→A=15°、B=120°、C=45°

三辺の長さが決まると三角形が１個決まります。この場合２個求まりました。どちらかが間違いです。

正弦定理ではa/sinA=b/sinB=c/sinC=2Rという関係が成り立つというものですが、正弦定理の一部をとってきて、b/sinB=c/sinCから
B=60°のときA=75°、B=120°のときA=15°と求まりました。
3辺の長さが決まっているときには、
(1+√3)/sin15°と(1+√3)/sin75°のどちらかしか正弦定理a/sinA=b/sinB=2/sin45°=一定を満たしません。当然に等式を満たすほうが正しい答えになります。

このように3辺が決まっている場合には、正弦定理を使うと2つ候補が出てきて、のちにどちらが正しいのかを決めなければいけなくなります。

どのように確定させるかですけど、この場合だと辺の長さがa=1+√3≒2.73,b=√6≒2.4,c=2なので、三角形において、最大辺には最大角が対応するということを使って、aが最大辺になっているので、aに対する角のAが75°と決めることができますが、ちょっと面倒です。

余弦定理を使うとこのような面倒なことは避けられます。
cosBの値からB=60°と決まり、A=180°-45°-60＝75°となります。

ちょっと説明がうまくできたか不安ですが、
正弦定理と余弦定理は便利な定理だけど、適用の仕方によっては出てきた結果に対してにはちょっと注意が必要なこともあるよということです。

このような3辺が決まっている場合には三角形は1個に決まるために、余弦定理を2回使って角度を決めたほうがいいといえます。

ひとまずこれくらいの説明でいかがでしょう。

どう説明したらいいのかちょっと考え込んでしまいました。納得できなければまた質問してください。

お礼

回答、ありがとうございますm(__)m
あと、相変わらず入力ミスが多くてすみません。
説明の方、非常にわかりやすいです！毎回答えにくい質問でごめんなさい。
いつも一緒に考えてくださってありがとうございます。わかりやすいので助かります！！

回答No.1

suko22

c^2=a^2+b^2-2ab*cosC
4=1+2√3+3+6-2(1+√3)*√6cosC
cosC=(2√3+6)/2√6(1+√3)　・・・※1
=(√3+3)/√6(1+√3)　　←分子分母を2で約分
=√3(1+√3)/√6(1+√3)　←分子を√3でくくりだす
=1/√2　←分子分母を1+√3で約分

どうにもなりそうになければ※1で分母の有理化すればＯＫですが、なんかそのまま括弧を保存しながらやるとうまくいきそうだったのでこういう風にやってみました。参考にしてみてください。

補足

回答、ありがとうございますm(__)m
解法はわかりました。すみません。追加で質問です。この問題の続きを解いてみたのですがこんなパターンはあるのでしょうか？？間違いなどの添削、よろしくお願いします。

投稿した問題よりcosC=45°
これを使ってb/sinB=c/sinCの公式に当てはめる。
2/sin45°=√6/sinB
2sinB=√3
sinB=√3/2
0°≦B≦135°より（←限定できないので今回あまり意味がないが…）
B=60°、120°になる。

よって、
i）B=60°のとき、Aは
　　180°- (45°+60°)=75°
ii）B=120°のとき、Aは
　　180°- (45°+120°)=15°

i）ii）より
A=45°、B=60°、C=75°
または、
A=45°、B=120°、C=15°