微分方程式

質問

xy'+y=y^2・logx

一般解の出し方を教えてください<m(__)m>

回答No.1

Ae610 · ベストアンサー

xy'+y=y^2・logx
ベルヌーイの微分方程式の形に帰着出来る。
両辺をxで割ると
y'＋y/x = y^2・logx/x・・・(1)

u = 1/yとおくと
du/dx = (－1/y^2)dy/dx
(1)の両辺を－y^2で割ると
－y'/y^2－1/xy = －logx/x
∴du/dx－u/x = －logx/x・・・(2)
(2)の右辺 = 0とおいた式
du/dx = u/xを解くと
u = cx
常数変化法のやり方に従って
u' = c＋c'xを(2)に代入して
c＋c'x－c =－logx/x
∴dc/dx =－(logx)/x^2
c = －∫{(logx)/x^2}dx = 1/x・(logx＋1)＋C
∴1/y = (1/x・(logx＋1)＋C)・x = Cx＋logx＋1 (Cは任意常数)