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微分方程式

xy'+y=y^2・logx 一般解の出し方を教えてください<m(__)m>

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  • Ae610
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回答No.1

xy'+y=y^2・logx ベルヌーイの微分方程式の形に帰着出来る。 両辺をxで割ると y'＋y/x = y^2・logx/x・・・(1) u = 1/yとおくと du/dx = (－1/y^2)dy/dx (1)の両辺を－y^2で割ると －y'/y^2－1/xy = －logx/x ∴du/dx－u/x = －logx/x・・・(2) (2)の右辺 = 0とおいた式 du/dx = u/xを解くと u = cx 常数変化法のやり方に従って u' = c＋c'xを(2)に代入して c＋c'x－c =－logx/x ∴dc/dx =－(logx)/x^2 c = －∫{(logx)/x^2}dx = 1/x・(logx＋1)＋C ∴1/y = (1/x・(logx＋1)＋C)・x = Cx＋logx＋1 (Cは任意常数)

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