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平方根を含む重積分
Ae610の回答
- Ae610
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∬√(x^2+y^2) dxdy D={(x , y)| -a ≦x≦ a , -a ≦y≦ a } 積分範囲を直角二等辺三角形の領域で計算してそれを8倍する x = rcosθ y = rsinθ ・・・とおくと、直角二等辺三角形の領域(D[1/8]と表すとする)は元の領域Dの1/8となる D[1/8] = {(r , θ)| 0 ≦r≦ a/cosθ , 0 ≦θ≦ π/4 } ∬√(x^2+y^2) dxdy = 8・∫[0→π/4]dθ∫[0→a/cosθ]{r^2}dr = 8・(a^3/3)・∫[0→π/4]{1/(cosθ)^3}dθ ・・・を計算すればよい。 計算してみると ∬√(x^2+y^2) dxdy = (4a^3/3)・(√2＋log(√2＋1)) （計算間違いしてるかも知れないので自分で確かめてみて・・！）
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