最初に選んだカードがスペードである確率

質問

ポーカーをやっていて思ったのですが、52枚一組のトランプがあるとします。
ジョーカーは入っていません。

トランプをよく切って、カードを伏せたまま1枚引きます。これを（A）とします。
その後、カードを伏せたまま、さらに4枚引きます。これを（B）とします。

（B）の４枚のカードを表にして確認したところ、全部のカードがスペードだった場合、
（A）のまだ伏せられているカードがスペードである確率はいくつになるのでしょうか。

回答No.8

kissabu · ベストアンサー

#2です。

1/4を支持しない理由として

Aの確率を1/4とするなら、残りにすべてのスペードがある確立（Aがスペードでない確率）は3/4であるはずです。（Aがスペードではない確率）
1/4が独立しているならば、その後どんなカードの引き方をしても変わらないですよね？

では、極端な例
Bでスペードを４枚ではなく、１３枚カードを見てスペードを抜き出します。
その時のAがスペードではなかったら条件が成立するのでAがスペードである確率は「0」です。
12枚しか抜き出すことができなかったらAの確立は「1」ですよね。

成立しない条件は例示するに値しないのなら
Bでスペードを１２枚引き出します。残りのスペードは１枚なので成立します。
この時もAは1/4ならAを引いた残りにスペードがすべてある確立は3/4であるはずですが、すでに12枚開示しているので残り1枚です。
起こりうる事象が1なのに分子が3ってことはありえないです。

Bで12枚開けたのがスペードの1,2,3,4,6,7,8,9,10,11,12,13で、5がなかったらこの設問は「Aがスペードである確率」を「Aがスペードの5である確率」と読み替えられませんか？

よって、Aの1/4である独立性はないと言えると思います。

素人の思い込みかもです。反論、指摘歓迎しますのでご意見お願いします。

CC_Tさんのご意見ですが、1/4支持だと思いますが、#5ではスペードがハズレの説明で良く判りませんし、1/4が正解であると決め付けていて（その点が問題なのに）詳しい解説が述べられていません。
また、#7での極端な例　及び　おまけの問題でも最初の確率を独立していると間違いのような例示となっていて論旨が理解出来ません。

出来ましたら判りやすい説明お願いします。

質問者の
＞後から選んだ4枚のカードすべてがスペードになる確率は変わると思うのですが。
のご意見から、
「Aのみの確率」ではなく、「B　かつ　A」を聞かれてるのかもですね。どっちとも取れる設問だと思います。

お礼

> では、極端な例
> Bでスペードを４枚ではなく、１３枚カードを見てスペードを抜き出します。
> その時のAがスペードではなかったら条件が成立するのでAがスペードである確率は「0」です。

そうです。もし４枚でなく、もっとたくさんのカードを引いた場合に、スペードが全部見えた場合、最初のカードはスペードにならないのでは？と思ったのです。
それが後から引いた4枚のカードで最初の伏せカードの確率が変わるのではないか、と思った発端です。

回答No.7

CC_T

#5です。

＃６回答に示された通り、出題をどう捉えるかで答えが変わります。
私は＃５回答では（A）は（B)とは独立した事象と判断して1/4と回答をしましたが、（B)の結果をフィードバックして（A）がスペードである確率を再計算するのなら、3/16が正しいです。

５２枚から５枚のカードを選ぶとして、
・１枚選んだ段階で「１枚目がスペードである確率」・・・1/4
・５枚選んだ段階で「５枚全部がスペードである確率」・・・33/6664
・５枚中２～５枚目がスペードと確認した上で「のこり１枚がスペードである確率」・・・3/16
これらは、全て１枚目がスペードであるかどうかに関係した計算ではありますが、計算結果の数値はすべて異なりますね。ちなみに「２～４枚目がスペードである確率」に依存するのは２の計算のみで、１，３にはその確率は関係ありません。

もひとつ、N0.5の補足について
> (2)出題者が残りのカードから４枚だし、それらが全てスペードであると示して見せる。
は、出題者がカードの中からスペードを４枚出す、という文意でした。
出題者が無作為に選んだ結果で「４枚がスペード」でも、柄を見ながら「スペードを４枚選んで」も、４枚のスペードが示されるという結果は同じ。偶然スペード4枚でも必然スペード4枚でも、なんら組み合わせが変わるわけではないのでその後の確率計算に影響はありません。

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極端な例で考えてみてはどうでしょうか。
白黒いずれかのカードが入った封筒が４つあり、白２つ、黒２つの組み合わせであることは分かっている。
最初に１つの封筒Aを選び、もう一つ別の封筒Bを選ぶ。
最初にAを開く場合、Aが白である確率は当然、1/2。
でも最初にBを開封してBが白であれば、Aが白である確率は1/3となります。見えていないカードが３枚で、白はそのうち１つしか残っていないのですから。
最初にBを開封してBが黒であれば、Aが白である確率は2/3ですね。

～～～

おまけの問題。
上の封筒４つを使ったゲームをします。
選んだＡＢ２つの中に白が含まれなかった場合は罰ゲームです。
２枚を選び、１枚目のＡが白の確率は・・・1/2（未開封４つの内の２つ）。
では、２枚目のＢが白である確率は・・・これも1/2（未開封４つの内の２つ）。
で、選んだ２枚のうち「いずれかが白」である確率は１枚目が白の確率1/2と２枚目が白の確率1/2の足し算ですから、1/2+1/2＝1で１００％。このゲームは負けっこないですねg(^^)。
・・・あれ？２枚とも黒って可能性もあるはずなのに、どこへいったの？　

さて、上記どこで計算違いしているのでしょうか？　陥りがちな罠です(笑)

お礼

わざわざ回答して下さり非常に申し上げにくいことですが、
あなたが確率のことを理解していないことがわかりました。

回答No.6

f272

質問者が
> これについて、選んだ4枚のカードがすべてスペードである確率を考慮しなくてもよいのでしょうか。
と疑問に思っていることからして，質問者は「後から得た情報によって確率は変化する」と考えているようです。
これを我々は主観確率と呼んでいて，
ある事象が起きると言うこことの信念の度合いをあらわす
ものです。そうすると後から情報を得れば，当然のようにそのことに対する確信は大きくなったり，小さくなったりするわけです。
#5の人や，多分#1の人も，事後の情報は確率に影響しないと考えています。

この問題は#4の人が言っているように，事後確率（条件付き確率）を計算せよという問題としてとらえることを意図しているのでしょうから，問題の答えとしては3/16を採用すべきでしょう。

お礼

> この問題は#4の人が言っているように，事後確率（条件付き確率）を計算せよという問題としてとらえることを意図しているのでしょうから，問題の答えとしては3/16を採用すべきでしょう。

難しく？言うと、そういうことです。
解説ありがとうございます。

回答No.5

CC_T

最初に引いているのですから、１／４。

似たようなものに、もう一度選べるならどうする？ってのがありますね。
(1)スペード以外を引くと「当たり」で、選択者がまず１枚引く（まだ見ない）。
(2)出題者が残りのカードから４枚だし、それらが全てスペードであると示して見せる。
(3)さて、ここでファイナルチョイス。選択者は最初に引いた１枚が何であるかを見ずに山に戻し、もう一度48枚のカードから選び直すことが出来ます。

さぁ、選び直す方か、最初のままか、どっちが当たりやすいでしょうか？

・・・確率で考えると、選び直す方が当たる可能性が高いです。
すでに「外れ」が４枚取り除かれているのですから。
つまり、最初に選んだ１枚が当たりである確率は３／４
選び直す場合は、13/16（39/48）ですから、ちょっと当たる確率が高いんですね。

これを踏まえると、ご質問の「（A）のまだ伏せられているカードがスペードである確率」ってのは、最初に１枚もさらされていない状態での選択ですから、１／４と見るのが正しいでしょう。

お礼

似たようなものというのはモンティホール問題でしょうか。
あれは出題者が最初からはずれカードを知っているから抜き取ったカードが全部外れになるだけであり、今回のように無作為に選んだらはずれ以外が選択されることもあると思います。

補足

ちょっとよくわかりませんが、似たようなもののほうで、

> (2)出題者が残りのカードから４枚だし、それらが全てスペードであると示して見せる。

これについて、選んだ4枚のカードがすべてスペードである確率を考慮しなくてもよいのでしょうか。
最初に選んだカードがスペードだった場合と、スペードではなかった場合で、
後から選んだ4枚のカードすべてがスペードになる確率は変わると思うのですが。

元の質問のほうで、直感的には1/4よりも小さくなる気がしますが、
具体的な数値は他の回答も参考に、今計算しているところです。

回答No.4

ereserve67

よく質問される「条件付き確率」です。

数学の確率論通りにやると次のようになります。

C:52枚から1枚引いてスペードである
D:52枚から1枚引いた後、残り51枚から4枚引いてすべてスペードである

という2つの事象を考えます。求めたいのは次の確率です。

P(C|D)=P(C∩D)/P(D)：Dが起こったとき、Cの起こる確率

これは条件付き確率の定義です。

まずP(D)について。

(1)最初スペードを引く。残り51枚（スペードは12枚）から4枚のスペードを引く。
(2)最初スペード以外を引く。残り51枚（スペードは13枚）から4枚のスペードを引く。

∴P(D)=P((1)∪(2))=(13×12C4+39×13C4)/(52×51C4)
=(13/52)(12C4/51C4)+(39/52)(13C4/51C4)

次にP(C∩D)について

P(C∩D)=(13×12C4)/(52×51C4)
=(13/52)(12C4/51C4)

よって、

P(C|D)=P(C∩D)/P(D)
={(13/52)(12C4/51C4)}/{(13/52)(12C4/51C4)+(39/52)(13C4/51C4)}
=(13×12C4)/(13×12C4+39×13C4)
=(13・12・11・10・9/4!)/(13・12・11・10・9/4!+39・13・12・11・10/4!)
=9/(9+39)=9/48=3/16（答）

約分を繰り返して9/48が得られていますが、これに

「表にした4枚がスペードと分かったので、残り48枚には9枚のスペードがある。48枚のうちのどれかが伏せられた1枚であるので、それが9枚のスペードのどれか1枚である確率」

という解釈を付けることができます。

お礼

詳しい解説ありがとうございます。
自分でも計算してみました。

回答No.3

f272

9/48
でも悪くはないけど、
3/16
とする方がもっといいな。　> #2の人

お礼

理解しました。
ありがとうございます。

回答No.2

kissabu

数学の専門ではありませんが・・・

スペードの残りが１３－４で９、開けてないカードが５２－４で４８なので「９/４８」ではないでしょうか。

確かに、「開けた５枚目にスペードを引く確立」及び「１枚目だけ引いた確立」は開ける前でしたら１/４ですが、設問は違いますし、その後すでに開けて明らかになった部分は確率の計算から除外する必要があるとおもいます。

また、この場合「５枚連続してスペードを引く確立」はあくまで開ける前の違う計算になりますので考慮する必要は無いと思います。

間違いあったらゴメンネェェεεε・゜・≡≡(* ノωノ)
こういうの考えるのは楽しいです

お礼

いろいろ計算してみました。
1/4 ではなく 3/16 が正しいようです。
ありがとうございました。

回答No.1

madridismo

これはBに関係なく1/4じゃないでしょうか。

お礼

1/4 ではなく 3/16 が正しいようです。

補足

複数の値が出てきてしまいましたが、結局いくつなのでしょうか。
1/4でしょうか、3/16でしょうか、あるいはそれ以外でしょうか。