至急お願いします！

質問

平面ベクトル a bについて
|a+2b|=1 |2a+b|=1 であるとき|a-3b|のとり得る値の最大値を求めよ。

この問題の解答解説をお願いします(>_<)

回答No.1

ereserve67 · ベストアンサー

a+2b=p

2a+b=q

とおくと，

(1)|p|=|q|=1（p,qのなす角をθとする）

このとき

a-3b=sp+tq=s(a+2b)+t(2a+b)=(s+2t)a+(2s+t)b

を満たす実数s,tを見つける．それは

s+2t=1,2s+t=-3

とすればよい．これを解くと，s=-7/3,t=5/3となる．ゆえに

a-3b=(-7p+5q)/3

∴|a-3b|^2=(1/9)(49|p|^2-70p・q+25|q|^2)

(1)より，

|a-3b|^2=(1/9)(49-70cosθ+25)=(1/9)(74-70cosθ)

|a-3b|=(1/3)√(74-70cosθ)

-1≦cosθ≦1よりこの上限は(1/3)√(144)=12/3=4．

さてθ=πとなりうるか．もしこうなるならp,qすなわちa+2b,2a+bは逆ベクトルで

a+2b=-(2a+b),a=-b

つまりa,bも逆ベクトルである．このときp=-a,q=aであり，a,bが互いに逆向きの大きさ1のベクトルになる．実際このとき，a-3b=4aの大きさは|4a|=4|a|=4となる．

したがって|a-3b|が最大になるのは，a,bが大きさ1の互いに逆ベクトルのときで，最大値は4である．

お礼

遅くなりましたがありがとうございます！またお願いいたします(^O^)