数列の問題が分かりません

質問

数列27,2727,272727,...について

(1)第n項を求めよ。

(2)第n項までの和Snを求めよ。

回答No.1

ereserve67 · ベストアンサー

(1)a_1=27,a_2=27(100+1),a_3=27(100^2+100+1)，・・・一般に

a_n=27(1+100+100^2+・・・+100^{n-1})=27(100^n-1)/(100-1)=3(100^n-1)/11（答）

(2)(1)より

S_n=(3/11)Σ_{k=1}^n(100^k-1)=(3/11){Σ_{k=1}^n100^k-Σ_{k=1}^n1=(3/11){100(100^n-1)/(100-1)}-n
=100^{n+1}/363-3n/11-100/363（答）

お礼

ご丁寧な解答ありがとうございました。

回答No.3

ra0037se

（１）与えられた数列をAnとし、Anの階差数列をBnとします。

Bnは初項２７００、公比１００の等比数列である。

よってｎが２以上のとき、An=a1＋Σ（ｋ＝１、ｎ－１）ｂｋより
An=２７＋２７００Σ（ｋ＝１、ｎ－１）１００＾（ｋ－１）
したがってAn＝２７＋３００/11（１００＾（ｎー１）－１）
また初項a１＝２７であるから、上の式はｎ＝１のときにも成り立つ。
よって第ｎ項は、２７＋３００/11（１００＾（ｎー１）－１）

（２）第ｋ項は２７がｋ個並ぶから、その値は
　２７＋２７・１００＋２７・１００＾２＋・・・・＋２７・１００＾（ｋ－１）＝２７/９９（１００＾ｋ－１）

よって　
Sn=２７/９９（Σ（ｋ＝１、ｎ）１００＾ｋ－１）が答えになります（計算は自分でやってくださいね）

お礼

分かりやすい解答ありがとうございました。

回答No.2

ra0037se

（１）与えられた数列をAnとし、Anの階差数列をBnとします。

Bnは初項２７００、公比１００の等比数列である。

よってｎが２以上のとき、An=a1＋Σ（ｋ＝１、ｎ－１）ｂｋより
An=２７＋２７００Σ（ｋ＝１、ｎ－１）１００＾（ｋ－１）
したがってAn＝２７＋３００/11（１００＾（ｎー１）－１）
また初項a１＝２７であるから、上の式はｎ＝１のときにも成り立つ。
よって第ｎ項は、２７＋３００/11（１００＾（ｎー１）－１）

（２）第ｋ項は２７がｋ個並ぶから、その値は
　２７＋２７・１００＋２７・１００＾２＋・・・・＋２７・１００＾（ｋ－１）＝２７/９９（１００＾ｋ－１）

よって　
Sn=２７/９９（Σ（ｋ＝１、ｎ）１００＾ｋ－１）が答えになります（計算は自分でやってくださいね）

お礼

丁寧な解答ありがとうございました。