空間図形の問題です。教えて下さい。

質問

問．1辺の長さが4cmの立方体がある。次の問いに答えよ。
(1)対角線BHの長さを求めよ。
(2)正方形BFCGの対角線GB上を、点GからBまで動く点をPとする。GPの長さをx[cm]、四面体PEFHの体積をy[cm^3]とするとき、
1）xの変域を求めよ。
2）yをxの式で表せ。
3）点PがGBの中点であるとき、△PHEを底面とする四面体PEFHの高さを求めよ。

回答No.4

yyssaa · ベストアンサー

(1)対角線BHの長さを求めよ。
＞
BD=4√2
DH=4
BH=√(BD^2+DH^2)=√(32+16)=√48=4√3(cm)・・・答え
(2)正方形BFCGの対角線GB上を、点GからBまで動く点をPとする。
GPの長さをx[cm]、四面体PEFHの体積をy[cm^3]とするとき、
1）xの変域を求めよ。
＞
BG=√(BC^2+CG^2)=√(16+16)=√32=4√2
よって、0≦x≦4√2・・・答え
2）yをxの式で表せ。
＞
PからFGにおろした垂線の長さをTとすると、四面体PEFHの体積は
△EFHの面積×Tの１/３になります。
△EFHの面積=4*4/2=8(cm^2)
∠PGF=π/2なので、T=x*sin(π/2)=x/√2(cm)
よって、y=8*(x/√2)*(1/3)=(4√2)x/3(cm^3)・・・答え
3）点PがGBの中点であるとき、△PHEを底面とする四面体PEFHの
高さを求めよ。
＞
GBの中点をP'とすると、P'F=(1/2)BG=2√2(cm)
P'E=√(EF^2+P'F^2)=√(16+8)=2√6(cm)
P'からEHに下ろした垂線の足をIとすると、
P'I=√{P'E^2-(EH/2)^2}=√(24-4)=2√5(cm)
△PHEの面積=(1/2)*EH*P'I=(1/2)*4*2√5=4√5(cm^2)
(求める高さ)×(△PHEの面積)×(１/３)=四面体P'EFHの体積で、
四面体P'EFHの体積はx=P'G=P'F=2√2のときのy=(4√2)x/3から
四面体P'EFHの体積=(2√2)(4√2)/3=16/3(cm^3)
よって、求める高さ=(四面体P'EFHの体積)*3/(△PHEの面積)
=(16/3)*3/(4√5)=4/√5=(4√5)/5(cm)・・・答え
(計算ミスご容赦)

お礼

ありがとうございます。助かりました。

回答No.5

KEIS050162

中学生さんでしょうか？

先に注意点を。

平面図形などを表現するときは、頂点を一筆書きで通る様に記してください。
×　ＢＦＣＧ　⇒　○ＢＦＧＣ　　意味が全く違って来ます。

２－２）と、３）について蛇足的ですが、

三角比でももちろん求められますが、問題を見る限り、三平方の定理だけで解き進めるように見受けられます。

△PFGからFGに垂線を降ろし、FGとの交点をQとすると、PQGは常に直角二等辺三角形になるので、その辺のの比から、

四面体の高さ　＝　ｘ／√２　が出ます。

後は底面かける高さにするだけですね。

３）　は、四面体の体積を△ＰＨＥの面積で割れば、高さが出ます。

△ＰＨＥの面積は、ちょっとややこしいですが、底辺は分かっているので、後は高さをどうにかすれば良いのです。

２）と同様にＰから反対側のＨＥに垂線を降ろして交点をＲとして、ＡＢＦＥ面から見た二次元図形で考えれば、ＰＲが三平方の定理で簡単に求められます。

ＰＲ＝√（ＥＦ＾２＋ＰＱ＾２）　　※ＰＱ＾２は２）が分かれば、簡単に出ますね。

要は、相手は正方形を四つ組み合わせた立方体なので、どっから見ても、どこを切っても、うまいこと直角三角形が出てくるので、後はこれを三平方の定理でやっつけるだけですね。

ご参考に。

お礼

ありがとうございます。
入力ミスでした。ＢＦＧＣが正しいです。
恥ずかしながら社会人です。
教員採用試験の問題です。

回答No.3

Tacosan

「最後の問題」は (2)-3) でいい?

#2 が一刀両断してるけど, 四面体の体積はすぐわかるし底面△PHE の面積も簡単に求まるから, 高さはすぐ出るはず.

お礼

なんども計算したのですが、うまくできませんでした。

回答No.2

Cupper-2

教えてください？
んーと、答えと途中の計算方法を？
嫌です。そんなの単なるカンニングでしょ。
それに…
分かったつもりになることは解決とは言いませんからね。

質問者さんが望んではいないでしょうけど、代わりに解き方のアドバイスをしてみましょう。

（１）一本一本の線の長さを地道に計算すればいい。直角三角形なんだからさ…。
（２）図に描いて見たまんまだよ？
　１）一番長いときと、一番短いときは、Ｐがどこにあるのか考えて（１）同様に計算
　２）立体の体積の計算方法を調べてみよう。これが分からなければ考えるだけ無駄。
　３）以上の問題が解けるなら、人に聞くことなく計算できます。自信を持ってください。

考える力を付けることができれば、問題を正答できなくてもプラスになりますからね。
そんな理由（わけ）で意地悪をしているのではありませんよ♪
がんばってください。

お礼

いちおう、ちゃんと解いてます(^_^.)
（１）三平方の定理より
BH^2＝BF^2+HF^2＝4^2+4√2^2＝16＋32＝48
BH＝√48＝4√3cm

（２）
　１）
三平方の定理より
BGは4√2cm
点Pは点GからBまで動くので、GPの長さをxは
0≦x≦4√2

　２）
y=（4×4／2）×（x／√2）／3= 4√2／3・x

　３）
答えは4√5／5cmですが、
なんどやってもうまくできないです。

回答No.1

Tacosan

まさか, 「自分で考えるなどという『愚か』な行為に時間を費すつもりなどさらさらないので誰か答を教えてください」ってことじゃないよね?

お礼

頑張って解いて見たのですが、最後の問題だけ解けませんでした。もし解けたら教えて下さい。