中学3 数学

質問

解き方お願いします

1
nを自然数とします。√120nが自然数となるときのnのうちで、もっとも小さい値を求めなさい

2
体積が600㎤、高さが10cmの正四角柱があります。
この正四角柱の底面の1辺の長さをacmとします。
n<a<n＋1とするときnにあてはまる
整数を求めなさい。

回答No.4

KEIS050162 · ベストアンサー

１．√１２０ｎ　が自然数となるためには、１２０ｎ　が　ある自然数の二乗になる必要があります。

自然数の二乗になるということは、素因数分解した時、すべての素因数が必ずペアで存在するということです。

簡単な例で試してみると、例えば３６は、
３６　＝　２　×　２　×　３　×　３　　という様に、素因数　２　と　３　が必ず２個づつペアになっています。

１２０ｎ　は、　２　×　２　×　２　×　３　×　５　×　ｎ　となります。　　（ｎは未知数なのでそのままｎとします）

ここで、２は一つのペアがありますが、残りの２、３、５、は一個ずつしかありませんので、これらがペアになる様な　ｎ　とは、２，３，５を因数として持っている数ということになります。このうち最も小さいのは、２，３，５を一個しか持たない数ということになるので、

ｎ＝　２×３×５＝３０　　です。

（検算というほどでもないが）
１２０×３０　＝　２・２・２・３・５・　×　２・３・５
　　　　　　　＝　２・２×３・３×５・５×２・２　　　⇒全部ペアになりますね。

２．　体積６００、高さが１０ですから底面積は６０ｃｍ２ですが、底面は正方形なので、ａ＝√６０　となります。

二乗して６０に近くなる自然数は…（たいして大きな数ではないので、２の二乗、３の二乗…とやっていけばすぐに答えが見つかる）…

７×７　＝　４９、８×８　＝６４　なので、ｎ＝７　ということが分かります。

ご参考に。

回答No.3

hashioogi

1. 120を素因数分解してみてください。ヒントが得られるはずです。
2. まず底面の面積を求めましょう。底面は正方形ですからa×aになるはずです。そうするとnがわかると思います。

回答No.2

asuncion

1)
√(120n)が自然数となるためには、根号の中の120nが
a^偶数・b^偶数・c^偶数......
のように、「何かの偶数乗の積」の形である必要がある。
さて、120を素因数分解すると、2^3・3^1・5^1となる。
ここにnをかけて、120nが「何かの偶数乗の積」の形になるには、
2^3・3^1・5^1 に対して何を補えばよいか？

2)
体積が600cm^3, 高さが10cmであることから、
この正四角柱の底面積は60cm^2 であることがわかる。
正四角柱の底面は正方形であるから、
「何かの2乗」=60 である。

回答No.1

PC98

（1）　√120n=√120√n=2√30√n
　　このとき√30nが整数になるのは、30ｎが平方数になるとき。
　　√の特性上、中が平方数になれば√は整数になるので、
　　この場合n=30が答え。このとき√120n＝60

（2）題意より底面積は60ｃｍ＾2、正四角柱なので底面は正方形。
　　よってa=√60、n<a<n+1より、n<√60<n+1
7^2=49,8^2=64より　49＜60＜64、平方根をとって
　　7＜√60＜8　よってn=7