√(14+6√5)

質問

√(14+6√5)の整数部分をa
小数点以下の部分をb
とするとき

(1) a
(2) b^2+1/b^2
(3) b^3+1/b^3

を求めよ。

なんですけど何かこの問題ならではの
解き方あった気がするんですけど忘れてしまいました…

まさか電卓叩いたりはないでしょうし…

教えてください！

回答No.3

suko22 · ベストアンサー

＞√(14+6√5)の整数部分をa
＞小数点以下の部分をb
＞とするとき
m+2√mn+n=(√m+√n)^2を使って外の√をはずすことを考えます。
14+6√5=14+2√45・・・※1
m+n=14,mn=45より、
かけて45足して14になる2数を探すと5と9、よってm=9,n=5
よって※1式=(√9+√5)^2
√(14+6√5)=√(√9+√5)^2=√9+√5=3+√5・・・※2

(1)√5は、√4＜√5＜√9、すなわち2＜√5＜3であるから、・・・※3
√5の整数部分は2
よって※2式より3+√5の整数部分は3+2＝5
∴a=5・・・答え

(2)※3より√5の小数部分は√5-2をなる。
　よって※2式より3+√5の小数部分b＝√5-2

　先にb+1/bを計算しておきます。
　b+1/b=√5-2+1/(√5-2)=√5-2+√5+2=2√5（分母の有理化使いました）

　b^2+1/b^2=(b+1/b)^2-2*b*(1/b)=(b+1/b)^2-2=(2√5)^2-2=20-2=18・・・答え

(3)b^3+1/b^3=(b+1/b)^3-3b^2(1/b)-3b(1/b)^2=(2√5)^3-3(1+1/b)=40√5-3*2√5=34√5・・・答え

計算は自分で確認してください。

Ｐ．Ｓ．
＞まさか電卓叩いたりはないでしょうし…
電卓叩いたらとんでもないことになります。

回答No.5

aries_1

答えは前の方々が書いておられる通りですが、どうしても分からなければ、(1)だけは別解があります。(面倒臭いですが…)

4＜5＜9より、2＜√5＜3
よって、12＜6√5＜18
故に、(25＜)26＜14+6√5＜32(＜36)
以上より、5＜√26＜√(14+6√5)＜√32＜6
これより、5＜√(14+6√5)＜6なので、a=5

注意)これはaのみしか求まりません。
どうしても解法が浮かばない時は、0点よりはましですので、使ってみてはいかがですか?

ただし、二重根号の外し方はマスターしておいてください。
√(14+6√5)=√(14+2√45)
足して14、かけて45になる数は5,9
よって、√(14+2√45)=√5+√9=3+√5
先程の不等式より、a=5
よって、b=(3+√5)-5=√5-2

回答No.4

bgm38489

√（１4+6√５）
１４＝９＋５ですね。何か気付きませんか？
６√５＝２＊３＊√５…
（３＋√５）＾２＝（9＋2＊3＊√５＋５）＝（１４＋６√５）
そう、
１４＋６√５＝（３＋√５）＾２
ですから、
√（１４＋６√５）＝３＋√５
√５は、４＜５＜９より、２より大きく３より小さい。だから、整数部分は２。だから…後の解き方は、分かるでしょ。

１４を９と５に分けて考え、その平方根は３と√５、掛け合わせて２倍すれば、６√５。だったら、（ａ＋ｂ）＾２＝ａ＾２＋ｂ＾２＋２ａｂ
が使える…となる。

回答No.2

アウストラロ ピテクス（@ngkdddjkk）

√(14+6√5)=3+√5=a+b
(1)5

(2)
b=-2+√5だから、
b^2=9-4√5
b^2+1/b^2=-2+√5+1/(-2+√5)=-2+√5-(-2-√5)=2√5

(3)
b^3=-38+17√5
b^3+1/b^3=-38+17√5+1/(-38+17√5)= -38+17√5-(-38-17√5)=34√5

回答No.1

eternal03

√(14+6√5)＝a+b