正確な解答のご教授お願いいたします。

質問

お世話になります。
下記問題について自分なりにいくつか解法が思いつき基本的にaの求め方がいくつか思いつき、
食い違いが出てきてしまいどの解法もあり得るような気がしましたので迷っています。
本来はどの解法が正しい？またはすべて違う？、なぜそうならないのかが理由づけできません。
ご教授、指摘よろしくお願いいたします。

問】√10－√2（ルート１０マイナスルート２、以下同様表現）の整数部分をa、小数部分をbとするとき
aとbの値を求めなさい。

解法１から４が思いついたのですが。

解法１】
　√10=3.1622…，√2＝1.41421より
√10－√2＝1.74806…，となり整数部分のa＝１、小数部分のb＝√10－√2－１
解法2】
　√10＝√5×√2 と考えて
√10－√2＝√5×√2－√2＝√2（√5－１）
　　　　 ＝1.41421×（2.236－１）＝1.41421×1.236 ＝1.747…
より整数部分のa＝１、小数部分のb＝√10－√2－１
解法３】
　３<√10<４，１<√2<2より
√10，√2それぞれ先に小数部分を求めて
√10の小数部分 √10－3、√2の小数部分√2－1より
√10の整数部分　√10－（√10－3）＝3　・・・(1)
　√2の整数部分　√2－（√2－1）＝1　　 ・・・(2)　
(1)、(2)より
√10－√2＝３－１＝2
よって整数部分a＝2，小数部分のb＝√10－√2－2
解法４】
３<√10<４，１<√2<2より
それぞれの不等式を二乗して整数どうしを引いてから求める
9<10<16と1<2<4で二乗してそれぞれを引いて10－2=8 これはさきに2乗したので
8を平方根してもどし√8＝2.828… 、
よって整数部分a＝2,b＝√10－√2－2

よろしくお願いします。

回答No.4

htms42 · ベストアンサー

解法１，２は私としては？が付きます。
こういう問題では√の値は分からないという前提ではないでしょうか。
「√１０は２乗すると１０になる数字、√２は２乗すると２になる数字」というだけを使うような気がします。
３＜√１０＜４
１＜√２＜２
ですから
√１０＝３＋α
√２＝１＋β
√１０－√２＝２＋α－β
ここでα、βの大小関係が問題になります。
α＞βであれば整数部分は２
α＜βであれば整数部分は１になります。

α－β＝√１０－√２－２
　　＝２（２√２－√５－１）／（√５＋１）
２√２＝√８＜３
√５＋１＞３
これよりα＜βです。
整数部分は１であることが分かります。

お礼

ご回答（解答）ありがとうございました。
>こういう問題では√の値は分からないという前提ではないでしょうか。
やはり上記が前提で問題文にことわりがなくても√の値はわからないのを前提と考えないと減点につながるのでしょうか。

＃３の方とほぼ同様になってしまいますがご容赦ください。
√の部分は2乗して計算が原則なんですね。
証明までしていただきわかりやすかったです、私は数学の教科書にも載っているので
一般常識的に√10=3.1622…，√2＝1.41421を知っていることありきで考えて
いましたので単純に引き算してもa＝１になると思っていたのですが、この方法ですと
小数部分が仮にわからなくても解けますね。
一般的な平方根の場合でも証明できますね。

回答No.6

alice_38

♯1 です。
9＜10＜16 から 3＜√10＜4 であると
言うことができた理由を思い出してみると、
√(3.1), √(3.2), √(3.3), …
を順次計算して、
3.1＜√10＜3.2 を示すことができるハズです。
1.4＜√2＜1.5 も、同様。
ここから、解法1 へ繋げられるますね。

お礼

ご回答（解答）ありがとうございました。
√10=3.1622…，√2＝1.41421を知らなかったら、使わずにいろいろ方法を考えているうちに
>√(3.1), √(3.2), √(3.3), …
>を順次計算して、
>3.1＜√10＜3.2 を示すことができるハズです。
>1.4＜√2＜1.5 も、同様。
確かにです。でもここがある意味一番時間がかかるかも。

回答No.5

htms42

＃４です。
１＜√１０－√２＜２であることを直接示しても同じです。
Ｐ＝√１０－√２＝８／(√１０＋√２)
３＋１＜√１０＋√２＜４＋２
ですから
４／３＜Ｐ＜２
です。
Ｐの整数部分は１です。

回答No.3

yanasawa

(√10-√2)^2 = 12-4√5
(4√5)^2 = 80 だから、8^2 < (4√5)^2 < 9^2
つまり、8 < 4√5 < 9
したがって、3 < 12-4√5 < 4
すると、1^2 < 12-4√5 < 2^2 だから
1 < √10-√2 < 2
ということで結局、a = 1、b = √10-√2-1

平方根の大きさは、２乗して比べるのが原則！

お礼

ご回答（解答）ありがとうございました。
√の部分は2乗して計算が原則なんですね。
証明までしていただきわかりやすかったです、私は数学の教科書にも載っているので
一般常識的に√10=3.1622…，√2＝1.41421を知っていることありきで考えて
いましたので単純に引き算してもa＝１になると思っていたのですが、この方法ですと
小数部分が仮にわからなくても解けますね。

回答No.2

jamf0421

[解法3]
>√10，√2それぞれ先に小数部分を求めて
>√10の小数部分 √10－3、√2の小数部分√2－1より
>√10の整数部分　√10－（√10－3）＝3　・・・(1)
>　√2の整数部分　√2－（√2－1）＝1　　 ・・・(2)　
>(1)、(2)より
>√10－√2＝３－１＝2
このすぐ上の式は間違いです。左辺を整数部分という意味で考えても少数部分がどちらの少数部分が大きいかが考慮されていませんから間違いになります。実際√2の少数部分が大きいので2からその少数部分の差を引いた値が√10-√2ですから小数部分は1です。
[解法4]
2乗したもの同士の差をとって平方根をとっても（符合についての議論は無視したとしても）√(a^2-b^2)となるだけで、|a-b|にはならないです。

お礼

ご回答（解答）ありがとうございました。
基本的に平方根と２乗を使うので、プラスマイナスで絶対値表現まで
踏まえた考え方すら思いつきませんでした。
いいわけですが仮にそれぞれがプラスどうしのものを比較したとして
もそれぞれ２乗してから10-2をするのはさすがに常識的にも、
今までもお粗末、こじつけと思いましたが大きなくくりで関係だけを
考えるならと試したら
a＝2と出たので、なぜだめかもう一度整理したく載せました

回答No.1

alice_38

解法1または2がよいのでしょう。
あれに、√2や√5や√10の近似値を求めた方法を
書き添えると、完璧です。
「たまたま知ってた」では、ちょっと弱いかも。
問題文中に近似値を与えられていない場合、
減点対象になる可能性もあります。

解法3の間違いは、解法1と比べれば
気がつくでしょう。
小数第1位への繰り下がりを忘れています。

解法4は、論外。
3＜√10＜4や1＜√2＜2とは無縁に
√10-√2≒√(10-2)と計算している訳ですが、
そんなことをしてよい根拠が何もありません。

お礼

ご回答（解答）ありがとうございました。
基本的に平方根と２乗を使うので、プラスマイナスで絶対値表現まで
踏まえた考え方すら思いつきませんでした。
いいわけですが仮にそれぞれがプラスどうしのものを比較したとして
もそれぞれ２乗してから10-2をするのはさすがに常識的にも、
今までもお粗末、こじつけと思いましたが大きなくくりで関係だけを
考えるならと試したら
a＝2と出たので、なぜだめかもう一度整理したく載せました。

補足

√10=3.1622…，√2＝1.41421をもし知らなかったら、使わずにいろいろ方法を考えているうちに
a＝2になってしまう勝手な方法を思いついたので、なぜ解法３、４が間違えているのか
混乱して明確に理由が説明できないのでご質問させていただきました。
※お礼欄が＃２の方と重複してしまいすみません。
こちらに少し付け足して記入させていただきました。