【数B】

質問

２直線(x+1)/2=(y+2)/3=(z+3)/4，x+2=(y-1)/2=(z+2)/3
に垂直で，原点を通る直線を求めよ。

という問題です。

いろいろな解き方を教えていただけたらと思います。

よろしくお願いいたします。

回答No.1

ferien · ベストアンサー

＞２直線(x+1)/2=(y+2)/3=(z+3)/4，x+2=(y-1)/2=(z+2)/3
＞に垂直で，原点を通る直線を求めよ。

求める直線の方向ベクトルを（ａ，ｂ，ｃ）とすると、原点を通るから、
ｘ／ａ＝ｙ／ｂ＝ｚ／ｃ
(x+1)/2=(y+2)/3=(z+3)/4，x+2=(y-1)/2=(z+2)/3の方向ベクトルは、
それぞれ、（２，３，４），（１，２，３）で、これに垂直だから、
２ａ＋３ｂ＋４ｃ＝０，ａ＋２ｂ＋３ｃ＝０
この式から、ｂ＝－２ｃ，ａ＝ｃ
よって、ａ：ｂ：ｃ＝ｃ：－２ｃ：ｃ＝１：－２：１

よって、求める直線の式は、ｘ＝ｙ／－２＝ｚ

補足

解説ありがとうございました。

回答No.2

alice_44

いろいろな解き方があるが、
a,b,c が 0 でないことを確認する前から x/a = y/b = z/c と書く
のは、少々まずい。(A No.1 は、解答そのものにはこの式を使っていないから、
先頭２行を削除するだけで済む。)

(x+1)/2=(y+2)/3=(z+3)/4，x+2=(y-1)/2=(z+2)/3 の方向ベクトル
(2,3,4), (1,2,3) に垂直なベクトルを求める方法として、外積を使って
(2,3,4)×(1,2,3) = (3・3ー4・2, 4・1ー2・3, 2・2ー3・1) = (1,-2,1)
が (2,3,4), (1,2,3) に垂直であることを得る という手もある。

原点を通って、この方向の直線の式は、(x-0)/1 = (y-0)/(-2) = (z-0)/1。
整理すれば、2x = -y = 2z とでも書ける。

お礼

解説ありがとうございました。