幾何学

質問

(1)E＾３の２つの平面x+2y+z+1=0,2x+3y+z+3=0の共有点を１つ求めてください。
また共通集合である直線をもとめてください。
(2)E^3の平面P：x+y+2z+2=0と直線L:x=(3+2t,1+t,2+t)の交点を求めてください。
、あたこの交点を通り、Pに含まれ、Lに垂直な直線を求めてください。

回答No.2

info22_ · ベストアンサー

(1)
x+2y+z+1=0
2x+3y+z+3=0
x,yの連立方程式とみなして解くと
x=z-3,y=1-z
これからz=1とすれば、x=-2,y=0
したがって、共有点の１つとして　(-2,0,1)
が得られる。

z=3とおくと　x=0,y=-2
したがって、もう1つの共有点として (0,-2,3)
が得られる。

共通集合である直線は,求めた2つの共有点を結ぶ直線であるから

(x,y,z)=(-2,0,1)+t(0-(-2),-2-0,3-1)=(-3+2t,-2t,1+2t),(tは媒介変数)
または
(x+3)/2=y/(-2)=(z-1)/2

となる。

(2)
>直線L:x=(3+2t,1+t,2+t)の
これは「直線L:(x,y,z)=(3+2t,1+t,2+t)」の間違いではないですか？

そうなら
x=3+2t,y=1+t,z=2+t …(☆)
これを平面の式の代入して交点の時のtを求める。
(3+2t)+(1+t)+2(2+t)+2=0
5t+10=0 ∴t=-2
直線Lと平面Pの交点は t=-2を（☆）の式に代入して得られるから
交点(-1,-1,0)
と求まる。
交点(-1,-1,0)を通り直線Lに垂直な直線は
Lの方向成分と内積がゼロになる方向成分を持つことから
(x,y,z)=(-1+t,-1-t,-t)　：媒介変数表示
これでもよいが、tを消去して
(x+1)/1=(y+1)/(-1)=z/(-1) すなわち　x+1=-y-1=-z
でもよい。

お礼

お返事遅くなりました。
回答ありがとうございます。
とてもわかりやすかったです。

回答No.1

WiredLogic

(1) x+2y+z+1=0 … (1)、2x+3y+z+3=0 … (2)
(2)-(1)… x+y+2 = 0、ここで、x=t とおくと、x=t, y=-t-2、
これを(1)に代入すると、t + 2(-t-2) + z + 1 = 0 より、z = t+3
よって、共有点は (t,-t-2,t+3) と表すことができる。
∴ t=0 のときの (0,-2,3) も、共有点の一つで、
交線の式は、(x,y,z) = (t,-t-2,t+3) = (0,-2,3) + t(1,-1,1)
（または、tを消去して、x = -(y+2) = z-3)

(2) PとLの交点は、
x+y+2z+2 = 0 に (x,y,z) = (3+2t,1+t,2+t) を代入した、
(3+2t)+(1+t)+2(2+t)+2 = 0 から、t = -2 となるので、
(x,y,z) = (3+2*(-2), 1+(-2), 2+(-2)) = (-1,-1,0)

Pの法線ベクトルは、(1,1,2) だから、
Pに含まれる直線の方向ベクトルは、必ず、(1,1,2)に垂直、
求める直線の方向ベクトルは、同時に、Lの方向ベクトル(2,1,1)にも垂直だから、
(1,1,2)×(2,1,1) = (1,-3,1) に平行、
よって求める直線の式は、(x,y,z) = (-1,-1,0) + t(1,-3,1) = (-1+t,-1-3t,t)
（または、tを消去して、x+1 = -(y+1)/3 = z

お礼

お返事遅くなりました。
回答ありがとうございます。