最小二乗法に関する問題

質問

『高校数学でわかる　統計学』という本を読んでいます。

∑x_i e_i = 0　（※Σは、i=1からnまで）

という性質があるそうですが、その証明がうまくいきません。

なお、

∑e_i = 0　（※Σは、i=1からnまで）

の証明はうまくいきましたので、下に書いておきます。

b = 1/n {∑y_i} - a/n {∑x_i} 　（※以下Σは、i=1からnまで）を途中で使います。

∑ e_i
=∑{y_i - f(x_i)}
=∑{y_i - ax_i - b}
=∑y_i - a ∑x_i - bn
=∑y_i - a ∑x_i - n {1/n {∑y_i} - a/n {∑x_i} }
=0

よろしくお願いします。

回答No.1

noname#227064 · ベストアンサー

m_x = Σx_i/n
m_y = Σy_i/n
Sxx = Σ(x_i - m_x)^2 = Σx_i^2 - n m_x^2
Sxy = Σ(x_i - m_x)(y_i - m_y) = Σx_i y_i - n m_x m_y
とおくと
a = Sxy / Sxx
b = m_y - a m_x
となるので
∑x_i e_i = ∑x_i {y_i - a x_i - b}
= ∑x_i {y_i - a x_i - (m_y - a m_x)}
= ∑x_i {y_i - a x_i - m_y + am_x}
= ∑x_i y_i - a∑x_i^2 - ∑x_i m_y + ∑x_i a m_x
= (∑x_i y_i - n m_x m_y + n m_x m_y) - a (∑x_i^2 - Σm_x^2 + Σm_x^2) - n (∑x_i/n) m_y + n (∑x_i/n) a m_x
= (Sxy + n m_x m_y) - a(Sxx + n m_x^2) - n m_x m_y + n a m_x^2
= Sxy - a Sxx
= 0

お礼

quaestioさん、ありがとうございました。
とても助かりました。