定常波

質問

実践は+x方向へ進む正弦波y1を、点線は-x方向へ進む正弦波y2を表している
定常波の節の位置を図の範囲で答えよ

どう考えるのでしょうか？教えてください

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回答No.7

アウストラロ ピテクス（@ngkdddjkk） · ベストアンサー

重ね合わせたときに、綺麗に変化が見えるからです。書いてみればわかります。

お礼

なるほど
長い間ありがとうございました

回答No.8

Quarks

ANo.6です。追加の情報です。数式を使って解くと次にようになります。
ngkdddjkkさんの解説は、この筋に沿ったものだと言えると思います。

問題で扱われているような正弦波の進行波は、一般に
　ｙ＝Ａ・sin{2π((ｔ/Ｔ)∓(ｘ/λ))＋δ}
のように、媒質の変位ｙを、媒質のｘ座標と、時刻ｔの関数で表現できることがわかっています。
なお、sin関数とcos関数とは互いに平行移動したものなので、cos関数を使って
　ｙ＝Ａ・cos{2π((ｔ/Ｔ)∓(ｘ/λ))＋σ}
のように表すこともできます(初期位相も違います）。

なお、2πは2×円周率のことですが、ここでは弧度法と呼ばれる方法で角度を表しています。π＝180°と置き直せば、普通の60分法の角度で表せます。

上の式に出てくる文字は、Ａが振幅，Ｔは周期，λは波長で、δやσは"初期位相"と呼ばれる角度です。複合∓は、ｘ軸の正の方向に進む進行波なら－，負の向きに進む進行波なら＋を表しています。

問題の波では、周期は明記されていません（以下では、周期はＴと書くことにします）が、波長λ＝12であることがわかります。また、図の状態がｔ＝０の時の波形だとすると、関数をcos関数で書いたときには、σ＝０になるようです。

実線の進行波は
　ｙ1＝Ａ・cos{2π((ｔ/Ｔ)－(ｘ/12))}
破線の進行波は
　ｙ2＝－Ａ・cos{2π((ｔ/Ｔ)＋(ｘ/12))}
です。（ｔ＝０として、適当に、ｘの値を当てはめてみると、ちゃんと波形を表現していることがわかるはずです）

さて、観察できる波形は、これら２つの波を合成したものです。数学的には、ｙ1＋ｙ2 を変位Ｙとする波です。
　Ｙ＝ｙ1＋ｙ2
　＝Ａ・cos{2π((ｔ/Ｔ)－(ｘ/12))}－Ａ・cos{2π((ｔ/Ｔ)＋(ｘ/12))}
数学の三角関数の変形公式
　cosθ－cosφ＝2・sin((θ+φ)/2)・sin((θ-φ)/2
を使って
　Ｙ＝２Ａ・sin(2πｔ/Ｔ)・sin(πｘ/6)
と書くことができます（このような形式で表された波は定常波であることがわかっています）。

この式で、ｘ＝0,6,12,18…　では、
sin(πｘ/6)部は、sin0°,sin180°，sin360°，sin540°…　となり、いずれも０です。
つまり、ｘ＝６ｎ（ｎは整数）では、ｔにかかわらず、Ｙ＝０なのです。つまり、いつ見てもＹ＝０なのですから、これは、正に定常波の「節」の位置を表しています。

また、ｘ＝3,9,15…　では、sin(πｘ/6)部は
sin90°，sin270°，sin450°，…　となり、１，－１，１，…　です。
これらの場所で、ｔ＝０，Ｔ/2，(3/2)Ｔ，…　の瞬間には　sin(2πｔ/Ｔ)＝０　ですから　Ｙ＝０　ですが
ｔ＝Ｔ/4，(3/4)Ｔ，(5/4)Ｔ，…　の瞬間には　sin(2πｔ/Ｔ)＝１，－１、１…　ですから
Ｙ＝２Ａ，－２Ａ，２Ａ，…となっているはずです。つまり、ｘ＝3,9,15…の各点は、時刻によって、Ｙ＝－２Ａ～０～２Ａまでの値を取り得る点で、これは腹にほかなりません。

お礼

補足ありがとうございました

回答No.6

Quarks

割り込み失礼します。

問題図の状態では、どのｘ座標の位置でも、２つの波の変位が互いに打ち消し合っていることは理解できているでしょうか？
たとえば、ｘ＝３では　ｙ１＝０，ｙ２＝０　ですから　Ｙ＝ｙ１＋ｙ２＝０
ｘ＝６では　ｙ１＝－Ａ，ｙ２＝Ａ　ですから　Ｙ＝ｙ１＋ｙ２＝０
他のどの点でも、　ｙ１＝－ｙ２　の関係になっているので、合成波形（観察される波形）は、ｘ軸と一致しています。
これでは、どこが節でどこが腹なのか、判断できません。

こんな時の鉄則は、「ほんの少しだけ時間が経ったときの状態を考る」なのです。
ちょっとだけ時間が経過したときの状態図を、添付しました。
それぞれの波形を、右，左にちょっとだけズラした図を描く（考える）わけです。

この図を見ると、赤い波形（これが実際に観察される定常波です）から
　ｘ＝０　の点は、先ほどと同じ　Ｙ＝０　の状態ですから、　節　であることがわかります。
　ｘ＝３　の点は、先ほどはＹ＝０でしたが、この図ではＹ≠０　で、波形上では、最大の変位になっいることがわかります。多分、ここは　腹　です※。

※　実際には、次のようにきちんと判断します。
もっと広い範囲を見ると、ｘ＝６　も「節」であることがわかるはずです。
つまり、
　ｘ＝６・ｎ（ｎは整数）
の地点が「節」の位置なのです。そして、隣り合った「節」間の中央には、「腹」があるはずですから、「腹」の座標は
　ｘ＝６ｎ＋３（ｎは整数）
と書けるはずで、確かに、ｎ＝０の時の座標　ｘ＝３は腹になっているわけです。

ちなみに、定常波の、
　隣り合った節－節間距離＝隣り合った腹-腹間距離＝６
で、波長λ＝１２　の半波長　になっていることが確かめられるはずです。

お礼

わかりやすかったです
ありがとうございました

回答No.5

アウストラロ ピテクス（@ngkdddjkk）

まあ、ωtを30°づつ変化させるということです。

おそらく、質問者様は高校生ですね。

補足

はい、高校生です
波は初見な上に私自信の理解力の無さが重なって質問ばかりになってしまってすみません

30゜動かすってどういうことですか？
また30゜なのは何故ですか？

回答No.4

アウストラロ ピテクス（@ngkdddjkk）

cos(ωt)のtを、例えばπ/6ω)ずつ動かした図を重ねて書いていってみればわかります。

補足

π/6ωってどれくらいでしょうか？

回答No.3

アウストラロ ピテクス（@ngkdddjkk）

えーと、時間の関数って意味です。

位置の関数が0なら、時間の関数がいくつになっても0ですよね？そこを節って呼ぶんです。

補足

位置の関数はsin(Ax)で時間の関数はcos(Bt)ですね

節にそんな定義があるとは初耳でした
ありがとうございました

ところで、理解力がなくて申し訳ないのですが
＞時間部分を振幅と考えればsin(Ax)の部分が節と腹を決める
というのはどういう意味ですか？

回答No.2

アウストラロ ピテクス（@ngkdddjkk）

進行波sin(ωt－kx)と後退波sin(ωt＋kx)の和を和積の公式使うと2sin(Ax)cos(Bt)のようになり、時間部分を振幅と考えればsin(Ax)の部分が節と腹を決める。そのため、2つの波が重なりあうところであるλ/4(y1は右に、y2は左に)のところのみを見てあげるだけで答えが出る。

補足

すみません、時間部分とはなんですか？

回答No.1

アウストラロ ピテクス（@ngkdddjkk）

互いにλ/4だけ波を進ませたときのピークになるところが腹、0になるところが節。

補足

なんでλ/4進めるんですか？