平方根の問題を教えて下さい！

質問

√をすべて書かれた次の数が自然数となるような、自然数aをすべて求めなさい。

√180/a

解き方を詳しく教えて頂きたいです。
よろしくお願いいたします。

回答No.4

dash6630 · ベストアンサー

aは自然数なので、　　a≧1　(a＝1,2,3,,,,)　・・・(1)

これより　　　　　　　　　0＜180/a≦180　 ・・・(2)

となります

√が取れるためには√の中身である、　180/a　が自然数の2乗になればいいので

(2)より　180/a＝1,4,9,25,36,49,64,81,100,121,144,169　

よって　a＝180,45,20,36/5,5,180/49,45/16,20/9,9/5,180/121,5/4,180/169

また(1)より　a＝180,45,20,5,

お礼

解き方の根拠がとてもわかりやすかったです。
とてもスッキリ！しました。

丁寧に回答していただきありがとうございました。

回答No.6

staratras

√(180/a)が自然数になる←→(180/a)が自然数の2乗になる　

ここで180を素因数分解すると　180=(2^2)*(3^2)*5 だから

180/a=(2*3)^2 のとき　a=5
180/a=3^2　のとき a=(2^2)*5=20
180/a=2^2　のとき a=(3^2)*5=45
180/a=1^2　のとき a=180

a=5,20,45,180

お礼

丁寧な回答をありがとうございました。
分数を整数にかえるために、素因数分解するのですね。
とてもわかりやすかったです。
数学が苦手なので、がんばります！
ありがとうございました。

回答No.5

aries_1

#2の解き方でパーフェクトですが、どうしても思いつかないときは、ごり押しで計算するしかないです。

まず、「自然数⇔√がない⇔√の中が2乗」なので、「180/aが取りうる□`2の範囲」を求めます。
1`2=1、2`2=4、…、13`2=169、14`2=196なので、□の範囲は「1≦□≦13」だと分かります。
なので、めんどくさいですが、「√の中が1になるときのaの値、4になるときのaの値、…、169になるときのaの値」と順に調べていき、aが自然数にならないものを除けば答えが一応出ます。

でも、あくまでもこの解き方は最終手段ですので、#2の回答のように綺麗な解き方が出来るよう、がんばってください。

お礼

詳しく教えていただきありがとうございます。
問題の意味がよくわかりました。
いろいろな解き方が考えられるようになりました。
ありがとうございました！

回答No.3

HPMPMAX

a=5?

お礼

回答、ありがとうございました。
がんばります。

回答No.2

trokky

√(180/a) = 6*√(5/a) = 整数*無理数
この時 √(180/a)が自然数であるためには√(5/a)が整数か、√(5/a)が1/(6の約数)である必要がある。
よってa = 5 (√(5/a)が整数となる条件)
もしくはa = 5*(1^2),5*(2^2),5*(3^2),5*(6^2) (√(5/a)が1/(6の約数)となる条件)
　　　　 = 5,20,45,180
つまり、a=5,20,45,180のとき、√(180/a)は自然数となる。

ちょっとしつこい感じの解答になってしまいましたが、これで良いと思います。
（aが自然数なので√180/aは(√180)/aとすると自然数になりえないので、とりあえず上記のように解釈させていただきました。）

お礼

問題の書き方がおかしかったため、わかりにくくてすみませんでした。
早々に回答していただきありがとうございました。
数学は苦手なのですが、受験生なのでがんばりたいと思います。

回答No.1

asuncion

＞√をすべて書かれた次の数

これは、どういう風に理解すればいいのでしょうか。
√(180/a)
か
(√180)/a
のどちらを意図されているのでしょうか。

お礼

早々にありがとうございました。

√(180/a)でしたが、変な書き方をしてしまい
すみませんでした。