単振動

質問

水平面上で、質量mのPにばねを取り付け、ばねを自然長からaだけ縮ませてからPを放した
ばねの伸びの最大値lを求めよ
ただし、ばね定数はk、動摩擦係数はμとする

摩擦熱(今回の場合μmg(a+l))を使えば解けるのですが、この問題を単振動の考え方を使って解く方法を教えてください
お願いします

回答No.2

sa10no · ベストアンサー

摩擦でエネルギーを失うので減衰します。よって放してから次にPが静止した位置が伸びの最大値ということになります。したがってこの運動は一般には振動ではありませんが、そこまでの運動なら単振動として解けます。
バネが伸びる向きをx軸正にとって自然長の位置をx=0とします。
運動方程式は
mx''=-kx-μmg
(x+μmg/k)''=-(k/m)(x+μmg/k)
x+μmg/k=Acosωt+Bsinωt (ω=√(k/m))
初期条件t=0でx'=0、x=-aより
B=0
A=-a+μmg/k
よって
x=-(a-μmg/k)cosωt-μmg/k
ωt=πで最大値a-2μmg/k
となります。

お礼

ありがとうございました
ただ微分方程式は習ってないので分からないんです
すみません

回答No.1

rnakamra

この問題は鉛直方向の単振動と同じ考え方ができます。(ただし一方向のみ)
常に同じ方向に摩擦力が同じ大きさだけ作用する、ということは鉛直方向の単振動で一定の重力が働くということと同じように考えられるのです。

鉛直方向の単振動の場合、単振動の中心がばねの自然長の点からmg/kだけずれますがそれと同じことです。
この場合も単振動の中心ポイントが自然長からμmg/kだけずれる、ということです。
ただし、ずれる方向は自然長からμmg/k縮んだところになるという違いがあります。

補足

つまりaだけ縮ませて、放して、帰ってくる位置が自然長+μmg/kということですか？