単振動の質問

質問

物体Ａ,Bが質量の無視できるばねにつながれており、水平で摩擦を無視できるなめらかな床の上に置かれている。物体Ａと物体Ｂの質量はそれぞれ、、mA,mBとし、大きさ無視できる。また、ばねは自然の長さlで、ばね定数をkとする。物体Ａ，Ｂの位置、速度、加速度は、それぞれ,xＡ、xB,vA,vB,aA,aBとする。

教えてほしいところ
この物体の単振動はL-lらしいんですが、どうやって
考えればＬ－ｌとなるんですか？？
重心から見て物体Ａ、物体Ｂがそれぞれ別に単振動をしているということを利用して求めてほしいです。

回答No.1

noname#154783 · ベストアンサー

「最初，バネの長さがLになるように物体A，Bを指で押さえ，その指をA，B同時に静かにはなした．物体A，Bの運動を論じよ」という問題を勝手に作って考えてみます．

手をはなした瞬間を時刻t = 0とします．

この系は物体AとBとがバネによる相互作用を行っているだけで，外力が働いていません．
したがって，重心運動量は一定です：

mA vA + mB vB = 一定 = mA vA(0) + mB vB(0) = 0.

# 要するに
# 重心 X = (mA xA + mB xB)/(mA + mB)
# はじっとしている．

また，物体Aから見た物体Bの相対運動を x = xA - xB，
換算質量をμ = 1/(1/mA + 1/mB)で定義すると，
相対運動の運動方程式は

μ x" = -k(x - l).
→ μ(x - l)" = -k(x - l) と変形できる．

#以下，x' = dx/dt，x" = d^2 x/dt^2 などと表します．

この運動方程式の一般解は，
x = l + A cos(ω t + φ),
ただし，
ω = √(k/μ) = √{k(1/mA + 1/mB)}.

初期条件は
x(0) = xB(0) - xA(0) = L,
x'(0) = vB(0) - vA(0) = 0.

これらの初期条件から
x(0) = l + A cos φ = L,
x'(0) = -ω A sin φ = 0.
∴A = L - l，φ = 0.

すなわち，相対運動は
x = l + (L - l)cos(ωt).　# 振幅 L - l の単振動

重心 X = (mA xA + mB xB)/(mA + mB) に対して
xA = X - mB x/(mA + mB),
xB = X + mA x/(mA + mB)
なので，じっとしている重心を座標原点に選べば，

物体Aは
振幅 mB(L - l)/(mA + mB) の単振動，

物体Bは
振幅 mA(L - l)/(mA + mB) の単振動

を行う．

> この物体の単振動はL-lらしいんですが、

「何の」単振動の「何が」L-l だということなのかわかりませんが，
以上の議論より物体Aから見た物体Bの相対運動は，振幅 L - l の単振動です．

回答No.2

noname#154783

すみません．ANo.1です．

(誤) 論じよ → (正) 論ぜよ

あと，

> じっとしている重心を座標原点に選べば，

は無視してください．削除し忘れました．

# じっとしている重心を座標原点に選んで，
# 物体A，Bの運動の式を具体的に求めるつもりだったのですが，
# やめてしまったので，不要になりました．