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単振動の問題を教えてください
答えがわからなくて悩んでいます。教えてください。 糸でつないだ物体Ａと物体Ｂ（両方とも質量は同じｍ）が、天井から下がっているばねに下げられている。（物体Ａがバネに取り付けられ、物体Ａから糸でＢがぶら下がっている） 糸の張力はＳとする。 物体Ａを手で持って、Ｂと一緒にばねが自然長のところまで鉛直方向に持ち上げて、手を離す。 このとき物体Ｂの単振動の周期と振幅を求めよ。 という問題です。 自分としては、物体Ａと同じ動きをするのかなと思ったんですが、Ｂは糸でつながってるので上に上がったとき糸が縮んで振幅は大きくなるのかなど悩んでいます。 糸の長さとか糸がたるむかどうかとかの条件は書いてないです。 解法と考え方を教えてください。 よろしくお願いします。
- papi_co
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Ｂは、常にＡと一緒に運動します。 理由：運動の途中で糸が弛むとしましょう。そのときには糸の張力が０になります。 バネが自然長だった時を、Ａの座標ｙ＝０、Ｂの座標をＹ＝０ としましょう。 Ａ，Ｂの運動方程式は、下向きを正として Ａ： ｍα＝ｍｇ－ｋｘ Ｂ： ｍβ＝ｍｇ ｘ＞＝０である限り※、 明らかに α＜β です。 両物体は初速度０で動きだしたのですから、速度はＢの方は常に下向きで、どんどん速くなる一方、Ａはそれほど加速できず、Ｂに追随できないことを意味します。 つまり、Ａ，Ｂ間距離は長くなる一方なのです。 これは、糸が弛まないという条件と矛盾します。 これより、糸は弛むことがない ことが結論づけられます。糸が弛まない限り、２物体間の距離は一定です。言い換えれば、Ａ，Ｂは常に一緒に動くということです。 振幅Ｌは、釣り合いの位置までの距離ですから ｋＬ＝２ｍｇ Ｌ＝2mg/k 周期Ｔは、 Ｔ＝2π√(2m/k) ※力学的エネルギーは保存します。もし、Ａ，Ｂが最初の位置より上に上がることがあれば、力学的エネルギー保存則に反しますから、ｘが負になることはありません。
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質問者からのお礼
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