仕事 物理

質問

こんばんは、高校生です。

水平面上に質量mの物体を置き、壁との間をばね定数kのばねでつないだ。ばねの自然の長さからの伸びをxで表し、面と物体の間の静止摩擦力係数をμ、動摩擦係数をμ'、重力加速度の大きさをgとする。

ばねが自然の長さにある状態から、物体につないだ糸を手で引っ張って、水平に力を加え、ばねを引き伸ばした。ばねの伸びがxになるまで、手によってなされた仕事はいくらか。

動摩擦力に逆らう仕事はμ'mg・xとなるらしいのですが、よく分かりません。このμ'mgは手が動摩擦力に逆らって引く力がμ'mgであるということですよね。でも、これでは動摩擦力と手が動摩擦力に逆らって引く力が同じだから、物体は右向きに動かないと思うのです。

どこかにおかしなところがあると思いますが、どこが違うのでしょうか。

回答No.2

sanori · ベストアンサー

こんばんは。

非常に鋭い着眼だと思います。

どのように考えればよいかというと、

１．引っ張る力がμｍｇに達するまで、物体は動かないし、ばねも伸びない。
２．μｍｇに達した瞬間に、撃力を受けたかのように物体が急激に加速する。
３．続けて、静かな等速直線運動をさせる。あるいは、加速度のある運動をさせる。（途中で一休みしてもよい）
４．ｘだけ伸びた地点でちょうど静止するように減速して静かにゴールさせる。あるいは、ｘだけ伸びた地点は通過地点で、さらに進むとして、ｘまでの仕事でもって一度「清算」する。

ということです。

２から４までのところで、仕事が行われます。
上記のように考えても、結局、μｍｇｘ　＋　１／２・ｋｘ^2　になります。

以上、ご参考になりましたら。

補足

ありがとうございます。
動摩擦力と同じ力を加えて、物体が動くことは分かりましたが、
動摩擦力より大きな力を加えた場合も、仕事は同じになるというのが理解できません。

回答No.4

sanori

＞＞＞仕事＝力×距離をうけいれないといけないのですね。
位置エネルギーを与える仕事の例はよく分かりました。

それは、よかったです。

ばねを伸ばす仕事についても、０からｘまで伸ばすとき
１／２・ｋｘ^2
であることも、先程の回答の通り、積分で求められることがお分かりいただけていれば幸いです。

＞＞＞μ'mgxのμ'mgというのは、仕事の定義に当てはめると力を表すと思いますが、この力というのは、手が動摩擦力に逆らう力のことですよね。

はい。そうです。
そして、この問題の場合は、手の力は、μ’ｍｇ　という力と、ばねを伸ばす力の足し算になります。

そして、仕事は、
∫[X=0→x] （μ’ｍｇ＋ｋＸ）ｄＸ　＝　μ’ｍｇ∫[X=0→x] １・ｄＸ　＋　ｋ∫[X=0→x] ｋＸ・ｄＸ
　＝　μ’ｍｇ［Ｘ］[X=0→x]　＋　ｋ［１／２・Ｘ^2］[X=0→x]
　＝　μ’ｍｇ（ｘ－０）　＋　ｋ（１／２・ｘ^2　－　１／２・０^2）
　＝　μ’ｍｇｘ　＋　１／２・ｋｘ^2
これが答えになるわけです。

私は高校時代、微積分を使わない物理であるために悶々としていましたが、
大学に上がって微積分を使う物理を習ってからは、霧が晴れたように理解できるようになったものです。
何せ、直感的にわかりますから。

お礼

２回も補足をいただきありがとうございます。
何とか理解することができました。
僕は文系なので、大学で使うことはないのですが、物理における積分という考えを学べて嬉しく思います。

回答No.3

sanori

＞＞＞動摩擦力と同じ力を加えて、物体が動くことは分かりましたが、

いえ。
動摩擦力と同じ力を加えたら物体が動くのではなくて、
動摩擦力と同じ力を加えたら物体は等速直線運動をします。

動摩擦力より強ければ加速しながら進み、弱ければ減速しながら進みます。

＞＞＞動摩擦力より大きな力を加えた場合も、仕事は同じになるというのが理解できません。

はい。
私も高校の頃、そのことをなかなか受け入れることができませんでした。

前回書いた
「３．続けて、静かな等速直線運動をさせる。あるいは、加速度のある運動をさせる。（途中で一休みしてもよい）」
における「加速度のある運動」というのは、
上記の
「動摩擦力より強ければ加速しながら進み、弱ければ減速しながら進みます。」
のことです。

最も受け入れやすいのは、位置エネルギーを与える仕事です。
質量ｍの物体を重力ｇに逆らって高さｈまで持ち上げる仕事は、
紛れもなくｍｇｈです。
途中で加速度がｇより大きくなろうが小さくなろうが、最終的にｈまで届けば、その時点まででｍｇｈの仕事をしたことになります。

この問題の場合、
ばねを取っ払って、動摩擦力のことだけを考えれば、
重力ｍｇを動摩擦力μ'ｍｇに置き換え、高さｈを水平距離ｘに置き換えて、
仕事は、μ'ｍｇｘになります。

とにかく、
力　×　力をかけた移動距離　＝　仕事
ということを受け入れるしかないのです。

微積分を知っていると、
仕事　＝　∫力ｄｘ
という理解の仕方で、色々なタイプの仕事が一つの線でつながります。

以下は、その具体例です。

ばねを自然長からｘまで伸ばすときの仕事は、
∫力ｄＸ　＝　∫（X=0→x）ｋＸ・ｄＸ
　＝　ｋ∫（X=0→x）Ｘ・ｄＸ
　＝　ｋ［１／２・Ｘ^2］（X=0→x）
　＝　ｋ・（１／２・ｘ^2　－　１／２・０^2）
　＝　１／２・ｋｘ^2
この仕事は、ばねのエネルギーに変換されました。

重力加速度がｇで一定のとき、質量ｍの物体をｈまで持ち上げる仕事は、
∫力・ｄｘ　＝　∫(x=0→h)ｍｇ・ｄｘ
　＝　ｍｇ∫(x=0→h)１・ｄｘ
　＝　ｍｇ［ｘ］(x=0→h)
　＝　ｍｇ（ｈ－０）
　＝　ｍｇｈ
この仕事は、位置エネルギーに変換されました。
しかし、
地上の僅かな高さではなく、遠距離で考えると、
重力加速度は距離の２乗に反比例するとして考えなくてはいけません。
この場合、
ｇ＝Ｇ／ｘ^2　と置けるので、
（ｘが０だと困るので、ｘ＝ａからｘ＝ｂまで運ぶとして）
∫力・ｄｘ　＝　∫(x=a→b)ｍＧ／ｘ^2・ｄｘ
　＝　ｍＧ∫(x=a→b)１／ｘ^2・ｄｘ
　＝　ｍＧ［－１／ｘ］(x=a→b)
　＝　ｍＧ（－１／ｂ　－　（－１／ａ））
　＝　ｍＧ（１／ａ　－　１／ｂ）
この仕事も位置エネルギーに変換されました。

最後に、
動摩擦力μ'ｍｇに逆らって、位置ａから位置ａ＋ｘまで運ぶ仕事は、
∫力・ｄＸ　＝　∫(X=a→(a+x)）μ'ｍｇ・ｄＸ
（μ'ｍｇは速度や位置によらない定数なので）
　＝　μ'ｍｇ∫(X=a→(a+x)）１・ｄＸ
　＝　μ'ｍｇ［Ｘ］(X=a→(a+x)）
　＝　μ'ｍｇ［（ａ＋ｘ）－ａ］
　＝　μ'ｍｇｘ
この仕事は、主に熱エネルギーに変換されました。

以上、ご参考になりましたら。

補足

仕事＝力×距離をうけいれないといけないのですね。
位置エネルギーを与える仕事の例はよく分かりました。

μ'mgxのμ'mgというのは、仕事の定義に当てはめると力を表すと思いますが、この力というのは、手が動摩擦力に逆らう力のことですよね。

回答No.1

fusem23

引く力が動摩擦力より大きかったと考えても、結果は同じです。
その場合、余分な力は運動エネルギーに変わりますが、摩擦によって運動エネルギーは少なくなっていき、それが０となった場所が停止位置となります。
結局、動摩擦力を超えた力は、力を加えなくても動摩擦に逆らって動くことに使われるので、トータルでの違いはないのです。

お礼

ありがとうございます。