高校数学の数列の問題（総和）です

質問

ｎ
Σ (k+1)/3^(k-1)=2+1+4/9+・・・・・+(n+1)/3^(n-1)
k=1

これをｎの式であらわすにはどうすればよいですか？
教えてください

こんな風に↓
n
Σk=1+2+3+4+5+・・・・・・・+n=n(n+1)/2
k=1

回答No.2

ferien · ベストアンサー

＞ｎ
＞Σ (k+1)/3^(k-1)=2+1+4/9+・・・・・+(n+1)/3^(n-1)
＞k=1
　　　Ｓn＝２＋３／３＋４／９＋５／２７＋……＋（ｎ＋１）／３^(n-1)　　　　　　とおくと、
(1/3)Ｓn＝　＋２／３＋３／９＋４／２７＋……＋ｎ／３^(n-1)＋（ｎ＋１）／３^n
上から下を引くと、
(2/3)Ｓn＝２＋｛１／３＋１／９＋１／２７＋……＋１／３^(n-1)｝－（ｎ＋１）／３^n
＝２＋（１／３）・｛１－（１／３）^(n-1)｝／｛１－（１／３）｝－（ｎ＋１）／３^n
＝２＋（１／２）・｛１－（１／３）^(n-1)｝－（ｎ＋１）／３^n
Ｓn＝２×（３／２）＋（３／２）・（１／２）｛１－（１／３）^(n-1)｝
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　－（３／２）・（ｎ＋１）／３^n
＝３＋（３／４）－（３／４）・（１／３）^(n-1)－｛（ｎ＋１）／２｝（１／３）^(n-1)
＝１５／４－｛（２ｎ＋５）／４｝（１／３）^(n-1)
＝（１／４）｛１５－（２ｎ＋５）（１／３）^(n-1)｝

でどうでしょうか？

回答No.3

B-juggler

う～ん、どうしても、分母の書き方に目が行くね。

どこまでが分母か、はっきり括弧かなにかでくくっておいた方がいい。

この場合は　こんな風に

Ａｎ＝（ｎ＋１）／｛３＾（ｎ－１）｝　ｎ≧１

こういう数列でしょう？

数列の例が挙がっていなかったら、分からないからね。。。

さて、本題。

無理やりにひとつの式にする！　と思ってない？

もう少し楽に考えようか？

このＡｎって数列は、

Ａｎ＝ｎ／｛３＾（ｎ－１）｝　＋　１／｛３＾（ｎ－１）｝

とできるのは明白だね。

後半と前半と分けて考えてみたらどうだろう？

Ａｎ＝Ｂｎ＋Ｃｎ　

Ｂｎ＝ｎ／｛３＾（ｎ－１）｝

Ｃｎ＝１／｛３＾（ｎ－１）｝

という具合に。

Ｃｎ　は　意外と簡単に見えませんか？

Ｂｎもそんなに苦労するかいな？？

　＃Ｂｎは等比数列じゃないから、ちょっと難しいけど。

　＃後から、ｎをかけてもいいんじゃない？

さてどうなるか？

ヒントだけは出したよ～。山は自分で乗り越えないと、景色は変わらないよ。

(=^. .^=)　ｍ（＿　＿）ｍ　(=^. .^=)

回答No.1

m0r1_2006

S(r) = sum_{k=1}^n r^k = 等比数列の和
を r で微分すれば，似たようなものがでる．