- ベストアンサー
高校数学の数列の問題再質問です
- 最初のΣ[k=1→n]k^pはｎのp+1次式とあるのですが、これはp次式じゃないですか？p乗なわけですし
- 自然数m(>=2)について(k+1)^(m+1)-k^(m+1)=m+1C1・k^m+m+1C2・k^(m-1)+...となるとありますが何故m>=2から始めるのですか1からじゃ駄目なんですか？
- (n+1)^(m+1)-1=m+1C1・Σ[k=1→n]k^m+m+1C2Σ[k=1→n]k^(m-1)+～この式が何故等号で同じになるのか分かりません、それとこの式をp<=m-1の時で考えるのが分かりません
- arutemawepon
- お礼率97% (1166/1191)
- 数学・算数
- 回答数30
- ありがとう数30
- みんなの回答 （30）
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
No6です。 回答者に、いろいろ言われるのは、ちょうど、患者さんが、お医者さんに、症状を、正しく言えない のと同じですよ。 医者を変えるか、熱心に病状を訴えるかですよ。どちらを取るかはあなたのジャッジです。 人を頼らないで、自分で直すという方法もありますよ。 (この時は、良い友達(本もこの友達集合に入る。)や先生が必要でしょうが・・? ね。←この発想まで来ると、教えてグーに、不安解消の、望みを託して、良い友達を探しに 入ったと解釈できるから、人文系の解釈になりそう。) No6の"この回答への補足" を読んでがっかりしました。 あなたなら 1 すなわちこの関数S[n-1]を求めない限り、1+2+・・+nの次数を宣言できないのです。 や 2 左辺はS[n-1]+nですが、これは1次式ですか。nだけ1次式です。(前回の回答の引用文) に異議をはさむはずです。 あなたの視点に立っていうなら 「S[n-1]のすべての項はnの一次式と信じているのですから。 1次をを足しているだけだだから1次だ」というはずです。 私が、あなたに察していただきたかったこと、は No6.の回答から あなたに 1 数列{a[n]}においてa[n]はnの関数であること。そして各項がたとえnの1次式であろうと 2 1+2+・・+nを求めると次数が一つ上がる というマジックが、不変の事実で、それを証明しようとしている。 んだと悟ってほしかったわけです。 後半を 解説しますが、 まず 基礎知識を確認します。 でないと、お互い、別の土俵に立って、ゲーム(罵り合っている)ようなものですからね。 1 二項定理を知っていて、展開できる。すなわち (k+1)^(m+2)-k^(m+2) を展開できる。 [m+2=nとおいてから、かなならず鉛筆を持って自力でやってください。ょ] 2 数学的帰納法とは 自然数nに関するある命題Q(n)がすべてのnについて真であることをいうために (i)n=1のとき命題Q(1)が真であることをいう。 (ii)n=kのとき命題Q(k)が真だと仮定すると n=k+1の命題Q(+1)も真になる、と証明する (iii) (i),(ii)が成り立つからすべてのnについて命題Q(n)は真である。 というルーチン(決まりきった仕事という意味)を理解している。 さて確認です。 (ii)について確認します。n=kとありますがここは実は1より大きくk以下の自然数sなら どれでも命題Q(s)が真であること仮定しています。 すなわち (ii)は、ある自然数をkとすると1<s<=kのすべてのSについて命題Q(s)が真であると仮定 するとn=k+1の命題Q(k+1)も真になる、ことを証明する という意味で理解してください。 (n=kのときとは、'k番目までが真であると仮定するわけだから、番号がk以下なら命題は 成り立つと仮定'するよ。という意味です。) 3 すでにNo6で確認している。 さて 上の2で使ったkは、この問題において既に使われています(予約語といいます)からkの代わりに mで代用します。 またこの問題ではnも予約語になっています。それをpに置き換えています。 だから本問は 自然数pについて ∑k^pの次数はp+1である。ことを帰納法で証明せよ、と言っている単純 な問題です。 しかも解き方まで、載せている。(大学のサービス精神に感謝していいものでしょうか?) 以下証明 P=1のとき、明らか。 P=mのとき ∑k^mが m+1次の整式ならば ∑k^(m+1)がm+2次の整式であることを証明する。 (この∑p^(m+1)の求め方までこの問題に載っている、これじゃゲームじゃないよね) 上の確認2であなたのノートに書いてあるように (k+1)^(m+2)-k^(m+2)=[m+2]C[1]k^(m+1)+[m+2]C[2]k^m+[m+2]C[3]k^(m-1)+・・+[m+2]C[m+2] となるから k=1のとき 代入して 2^(m+2)-1^(m+2)=[m+2]C[1]1^(m+1)+[m+2]C[2]1^m+[m+2]C[3]1^(m-1)+・・+[m+2]C[m+2] k=2のとき 3^(m+2)-2^(m+2)=[m+2]C[1]2^(m+1)+[m+2]C[2]2^m+[m+2]C[3]2^(m-1)+・・+[m+2]C[m+2] ・・・・ k=nのとき (n+1)^(m+2)-n^(m+2)=[m+2]C[1]n^(m+1)+[m+2]C[2]n^m+[m+2]C[3]n^(m-1)+・・+[m+2]C[m+2] 両辺の 右辺左辺を縦に加えて 整理すると (n+1)^(m+2)-1=[m+2]C[1](∑k^(m+1))+[m+2]C[2](∑k^m)+[m+2]C[3]{∑k^(m-1)}+・・+n この式にあるターゲットは右辺にある∑k^(m+1)ですが、この(m+1)乗和以外の右辺に並ぶs乗和(s<=m)は 仮定よりすべてm乗以下の次数です。 だから左辺に踵を返して(n+1)^(m+2)の次数を探ると、これはnのm+2次式になりますから、 右辺の[m+2]C[1](∑k^(m+1))以外を左辺に移行して、あげれば (n+1)^(m+2)-1-[m+2]C[2](∑k^m)-[m+2]C[3]{∑k^(m-1)}-・・-n=[m+2]C[1](∑k^(m+1))・・(1) ですから、 ∑k^(m+1)の次数は、 左辺が、「m+2次式だよ」と右辺に話しかけているでしょ。 よってすべてのpについてこの命題は真である。 以上からだと n^(p+1)とn^pの係数を求めるのにまた時間がかかります。←このトラブルをあなたが送ったサイト の解説者は先読みしているのです。 だから帰納法の(ii)にあたるmをP=m-1に 切り替えているのです。 (1)の恒等式に戻ります。 ∑k^(p+1)の展開式で最大次数がp+2次になりますから、n^pの係数は求まりません。 一つ次数を落として(mから1を引きます。) (n+1)^(m+1)-1-[m+1]C[2]{∑k^(m-1)}-[m+1]C[3]{∑k^(m-2}-・・-n=[m+1]C[1](∑k^m) そしてm=pとおけば (n+1)^(p+1)-1-[p+1]C[2]{∑k^(p-1)}-[p+1]C[3]{∑k^(p-2)}-・・-n=[p+1]C[1](∑k^p) あとは右辺の係数にあたる[p+1]C[1]=p+1で両辺を割れば n^(p+1)と n^pの係数探しの旅ですよ。 PS. あなたが作った模様のhttp:// サイトは解説者の同意の下ですか。 違法コピーと解釈されるのが心配です。 「Σ[k=1→n]k^p=1/(p+1)・n^(p+1)+1/2・n^p+...(*)この式はどこから出てきたのですか？ 自然数m(>=2)について(k+1)^(m+1)-k^(m+1)=m+1C1・k^m+m+1C2・k^(m-1)+...となるとありますが何故 m>=2から始めるのですか1からじゃ駄目なんですか？」にご自身で答えてください。
その他の回答 (29)
- 中村 拓男（@tknakamuri）
- ベストアンサー率35% (674/1896)
>コピーしたものを載せて、聞きたい部分を文章の中に >一部入れるということですか？ >例で今回もお示しいただけると助かります 引用に関してはここを見て下さい。 これに書いてあるとおり、引用にも限界があることを認識して 下さい。 http://homepage1.nifty.com/samito/copyright2.htm#%E7%84%A1%E6%96%99%E3%81%A7%E3%81%A7%E3%81%8D%E3%82%8B%E9%83%A8%E5%88%86%E5%BC%95%E7%94%A8%E3%81%AE%E3%83%AB%E3%83%BC 文章というのは、その数学的な内容は 同じでも、あなたが内容を正しく把握して、 あなたの言葉で文章を作れば、 複製とされることはありません。この場合 あなたの文章なので引用は不用です。 それでも特定の書籍のどの箇所の内容なのかを明示し、 たくさん紹介して元の本の構成がわかってしまうようにかけば やはり著作権侵害なのです。 要するに自分の理解している内容を自分の文章と図で 示すだけなら何の問題もないとゆうことです。 もういいかげん同じことを書くのは疲れたので ここで失礼します。
お礼
御返答有難うございます
補足
有難うございます、でも難しいですねぇ、問題を理解しても全部書かずに内容を伝えるのは難しいですね、どこか抜けたら分からないという事が出てくるでしょうし、解説のここが分からないというのも全部書かないで伝えるのは難しいです、というか皆こんな事絶対守ってないと思うんですが・・まぁ皆とか関係ないというのは分かりますが、うーん、参ったな 宜しければ今回の問題を引用で伝えるとしたら貴方ならどうやりますか？良かったら具体的にやってみてほしいです、解説の所も全文書かずに聞きたい所だけ聞くというのも引用で上手くやってみてほしいです
- 中村 拓男（@tknakamuri）
- ベストアンサー率35% (674/1896)
>うーん、m+2個から2個選ぶ場合の数ですね、2個の組み合わせが最初の1個はm+2通りあり、 >2個目は最初に選んだ以外のm+1通りだから(m+2)(m+1)通りで、2で割るのは(1,2)と(2,1) >みたいなのを一つの組み合わせと考えるためですか これができれば、解説の式の (m+1)C1 とか (m+1)C2 とかを全部 m と n だけの式に 換えられますよ。問題で求まられているのは最高次数とその次の次数の係数だから 解説のように必要な次数の部分だけ計算すれば、あっというまです、 ところでちょっと調べてみましたが、この問題集、評判は良いですがかなり上級者用ですよね。 なんでこれを選んだんですか？ 同じ東京出版なら、1対1とかのほうがよかったのでは？
お礼
御返答有難うございます
補足
>同じ東京出版なら、1対1とかのほうがよかったのでは？ 1対1はやりました 長くなっているので、一旦切ります、所で質問の仕方をもう少し詳しく教えてください 引用の部分が曖昧で良くわかりません、他に質問している4-12の方でお願いします
- 中村 拓男（@tknakamuri）
- ベストアンサー率35% (674/1896)
例えば 『「Σk^m を (k+1)^(m+1)―k^(m+1) を利用して求めよ」 がわかりません』 と聞くだけだったら、問題集の名前を載せなくても 問題はないでしょう。 原文や解説を「そのまま」載せたり、 画像にしてコピペするなら 引用の形に、 同一書籍のからの引用は良識の範囲ないで というだけです。 問題集を作るというのは、問題を集めるところから 始まり、よりコンパクトで網羅性の高い問題群を 残すために時間をかけて取捨選択が行われます。 さらに質の高い解説を付けるには、かなりのお金が かかるはず。 こうしたものが無制限にネットに垂れ流されて よいはずはないんです。 こうしたことを考えれば何をしてよいのか自ずと わかると思いますが？ いかがでしょう? そろそろ私も引っ込みます。
お礼
御返答有難うございます
補足
>原文や解説を「そのまま」載せたり、 >画像にしてコピペするなら >引用の形に、 この場合ももう少し詳しくお聞きしたいのですが コピーしたものを載せて、聞きたい部分を文章の中に一部入れるということですか？例で今回もお示しいただけると助かります
- 中村 拓男（@tknakamuri）
- ベストアンサー率35% (674/1896)
>何だか、相当面倒くさいことをやらないと駄目なんですね、 >そんな事守って質問している人は見たこと無いですが、 >法律に引っかからないで質問するというのはそう言うことなんですね あなたは自分のやっていることが普通をいう認識されているいようですが 実際はすごく特殊です。 ひょっとして、文字を打つのがめんどくさいだけなんでしょうか？ 問題集を端からコピペして掲載するひとなんてそうはいません。 普通は自分の言葉で解けない問題を載せて問うだけというのがほとんどです。 これならば問題はない。丁寧に出典を載せて、原文を載せる方もいます。 >分かるためにはどの位の事やればいいんだすか？ 知りません。 私は教育者ではないし、数学は大好きなんで、数学に関しては 幼いころからいろいろなことに手を出しているので、参考には ならんと思います。
お礼
御返答有難うございます
補足
>自分のやっていることが普通をいう認識されているいようです >が実際はすごく特殊です。 量が多いか少ないかの違いで皆とやっている事は同じだと思いますよ >ひょっとして、文字を打つのがめんどくさいだけなんでしょう >か？ そりゃ、コピペに比べたら面倒くさいでしょう >普通は自分の言葉で解けない問題を載せて問うだけというのが >ほとんどです。 >これならば問題はない。丁寧に出典を載せて、原文を載せる方 >もいます。 これはどういう事なんですか？全問じゃないけど、問題集の何問かを手書きで書いて聞くという事ですか？ 自分が見る限り問題の一部分だけなんて聞き方をしているのは少数ですよ、取り合えず問題文と問を全文手書きで書いて聞いている人が殆どです、殆どが問題文だけ書いて、わかりませんかって書いて丸投げに近い人が多いと思います
- 中村 拓男（@tknakamuri）
- ベストアンサー率35% (674/1896)
>>表現された内容のコピーはグレーゾーンですが、 >これは誰かが手書きで書いたのをコピーするってことですか？ 「手書き」？？全然関係ない話ですね。 内容を理解してその数学的な内容をご自分の言葉で書くということです。 単なるテキストで構いません。 表現というのは、言葉の選び方や順番などといった、説明を作るときに 内容とは別に、工夫され、創作された部分を指すのです。これを完全にコピーすると 複製したとみなされます。 つまり、手書きにしても、元の文章そのままだったら駄目ということです。 ただ、ここまでやっても、一つの書籍から大量の解説を抜き出してしまうと、 倫理的にほめられたものではないし、個々の問題や解説で述べられた「数学的 内容」に著作権はなくても、問題集全体としての「構成」の著作権というものに 引っかかるでしょう。問題の集めかた、並べ方にも著作権があるからです。 ほどほどにしないと、ある日巨額の請求書が届きますよ。 まとめると、 1) 本の内容を紹介するときは、基本は「引用」する。 2) 引用を用いずに、自分の言葉で数学的内容を紹介するのは可。 3) 良識を超えて多くの文章を一つの書籍から抜き出すのは不可。
お礼
御返答有難うございます
補足
何だか、相当面倒くさいことをやらないと駄目なんですね、そんな事守って質問している人は見たこと無いですが、法律に引っかからないで質問するというのはそう言うことなんですね でも、殆ど分からないので、こんな事守っていたら理解するのは難しいんですね、どうしようか困りましたね それに今まで訴えられた人とか逮捕された人とかもいないみたいだし、事実上は黙認されてるんじゃないんですか？ tknakamuriさんは新数演やるとき解説読んだら全部分かりました？又分かるためにはどの位の事やればいいんだすか？具体的にお願いします、チャートと教科書くらいはやりました
- 中村 拓男（@tknakamuri）
- ベストアンサー率35% (674/1896)
>でもこの聞き方が駄目なら聞き様が無いですよね 著作権法というのは「表現」を守るための 法律なので、無断のデッドコピーは絶対NGです。 コピーを貼るというのがこれに該当します。 表現された内容のコピーはグレーゾーンですが、 数学的に普遍的な内容を文章にしただけで権利を 認めたら大変なことになりますから 自分のことばで書けばoκです。 それでも元が自分の考えでなければ 出来る範囲で出典を書き添えるのが礼儀でしょう。
お礼
御返答有難うございます
補足
>表現された内容のコピーはグレーゾーンですが、 これは誰かが手書きで書いたのをコピーするってことですか？ >自分のことばで書けばoκです。 手書きで若干内容を変えながら書くって事ですか？ >それでも元が自分の考えでなければ >出来る範囲で出典を書き添えるのが礼儀でしょう。 手書きで解説や問題を書いて、新数学演習の何問とかって書くことですか？
- 中村 拓男（@tknakamuri）
- ベストアンサー率35% (674/1896)
しかし本当に2項係数わかってるのかな? 単なる見栄？ (m+2)C2 を m の式に 展開できます？ 答えは(m+2)(m+1)/2 だけど、何故こうなるか 説明できますか? #ここがわかっていれば m→m+1の #書き換えなんて、一瞬だけど・・・
お礼
御返答有難うございます
補足
＞だけど、何故こうなるか ＞説明できますか? うーん、m+2個から2個選ぶ場合の数ですね、2個の組み合わせが最初の1個はm+2通りあり、2個目は最初に選んだ以外のm+1通りだから(m+2)(m+1)通りで、2で割るのは(1,2)と(2,1)みたいなのを一つの組み合わせと考えるためですか
- 中村 拓男（@tknakamuri）
- ベストアンサー率35% (674/1896)
>解説も新数学演習の解説と書いて >URLを張ってここが分かりませんと >説明するのが良いですか？ あくまで引用ということで、 ここに貼るなら、数枚なら許容範囲でしょう。 でもひとつの書籍の内容を次から次へとコピーしてゆくのは 駄目です。 あなたが解説を正確に読み取り、 あなたの文章で紹介できるなら 問題ありません。 ただ、なんどもいいますが、基礎学力があれば 問題の「答」の「解説」の内容すらわかりません。 なんて事態にはならないはず。 まず基礎学力の方をなんとかしましょう。
お礼
御返答有難うございます
補足
>ここに貼るなら、数枚なら許容範囲でしょう。 分かりました、図とかないと説明出来ないときは貼ります >あなたが解説を正確に読み取り、 >あなたの文章で紹介できるなら >問題ありません。 それは手書きで書いてここが分かりません見たいな形ですか？ >ただ、なんどもいいますが、基礎学力があれば >問題の「答」の「解説」の内容すらわかりません。 >なんて事態にはならないはず。 新数学演習みたいな難しい問題集でもですか？
- think2nd
- ベストアンサー率63% (23/36)
No.16です。 対応をabandonしたのですが、まだ長引いているので、火種の私が説明して、 終わりにしてくださいね。 回答せざるを得なくなったのは、若き数学者の卵を壊したくないこと。それと、わたしが遠回しの回答を、 途中で辞めます。しかし未練たらしく、諦めきれず、結論だけを申し上げて幕を引くことを 考えたからです。 また"(再)^n質問"してください。その時はn=2の見出しで、質問はn=0の書き方で投稿をお願いします。 A No後半では話題がそれています、ジャンルを変えて質問してください。 たとえば知らない間にあなたの写真が撮られ、サイトにアップされていたら、そしてそのことを 友達から知らされたら、貴方はどんな気持ちですか。このときあなただけが、訴えるかどうかの 権利を持ちます。 あなたにはエチケットがあります。しかしモラルは疑わしいと思わざるを得ません。 B なぜAの事態になったのかというと、貴方がコピーした解答、が入試問題に対する適切な解では ないため、私がこれから解説者を批判するので、確認のため、"同意を取っているか"と、あなたに 質問したのです。 C 入試問題をよく読んで、没頭してください。それからNo.16の回答を見て理解してください。 帰納法と2項定理を知っているあなたなら、どこに、+1を書き忘れているか探し出せるはずです。 (+1がないため私の解答は0点です。) D "Σ[k=1→n]k^p=1/(p+1)・n^(p+1)+1/2・n^p+...(*)この式はどこから出てきたのですか？" は解説者が書いているでしょう 。(解)の上に。 "2つの関係はどうなるか、すぐに予想できるでしょう."と。 予想した式が゛(*)です。そして面倒なことに数学的帰納法で再度証明しているのです。 E この予想などいらないよ。サービス精神旺盛な問題文から導けるよ。 と私が言おうとしているのです。←これが締めくくりです。 F だから解説者の解は何なのかと。あなたに疑問を膨らませてほしかったわけです。 逆質問します。 "Σ[k=1→n]k^p=1/(p+1)・n^(p+1)+1/2・n^p+...(*)"にある +..の'+'の次にくる式はなんですか? トリックが見ないあなたが考えると訳がわからなくなります。この質問を解説者に質問してください。 解説者は波線と～でうまく切り抜けています。解説者のうまい言い訳ですが、鑑賞すべきでしょうね。 Forgive others often,yourself never. -Publilius Syrys (Roman writer,c.42B.C) Forgive your enemies,but never gorget their names. -(John F.Kennedy(35th U.S.President,1917-63)
お礼
御返答有難うございます
補足
>友達から知らされたら、貴方はどんな気持ちですか。このとき >あなただけが、訴えるかどうかの >権利を持ちます。あなたにはエチケットがあります。しかしモ >ラルは疑わしいと思わざるを得ません。 それはやはり嫌ですよね、じゃあ結局どうすればいいのでしょうか？ 大丈夫な質問の仕方を教えてください 問題文は何年度の○大学の第何問という形ならという事ですが、解説の方はどうすればいいでしょうか、この部分が分かりませんとか言う聞き方ではまずいですか？ でもこの聞き方が駄目なら聞き様が無いですよね 新数学演習の問題なんですが、この本をお持ちの方に～の部分ですみたいな聞き方なら大丈夫ですか？ >"Σ[k=1→n]k^p=1/(p+1)・n^(p+1)+1/2・n^p+...(*)"にある >+..の'+'の次にくる式はなんですか? p^(n-1)/6ですか？
- 中村 拓男（@tknakamuri）
- ベストアンサー率35% (674/1896)
〉じゃあ今回の問題だったら58年の 〉埼玉大学の問題ですhttp://imgur.com/0kNIEjE もう解説まで丸コピーしちゃっているから だめですけどね。 あなたの場合必要なのは解説の解説でしょ? 丸コピーなんてせずに、自分の文章でかけば 問題ないと思うよ。
お礼
御返答有難うございます
補足
はい、じゃあ問題だけだったら58年の埼玉大学の問題です 問題http://imgur.com/0kNIEjEと書いて解説は手書きで全部書いてここが分かりませんと言う形なら大丈夫ですか？ それか新数学演習って問題集の問題なんですが、解説も新数学演習の解説と書いてURLを張ってここが分かりませんと説明するのが良いですか？ それかもしお持ちでしたら、この問題の解説のここが分かりませんと聞くのはどうですか 後は問題や解説の数値や文字を変えて質問しても駄目ですか？
お礼
御返答有難うございます
補足
>2 左辺はS[n-1]+nですが、これは1次式ですか。nだけ1次式で >す。(前回の回答の引用文) >に異議をはさむはずです。あなたの視点に立っていうなら>「S[n-1]のすべての項はnの一次式と信じているのですから。 >1次をを足しているだけだだから1次だ」というはずです S[n]は1+2+3+・・・+nをn(n+1)/2としてｎの2次式という風に考えるのが分かったからS[n-1]+nがnの1次式ではないというのは分かります >不変の事実で、それを証明しようとしている。 >んだと悟ってほしかったわけです。 分かりますよ、n=1とか2で次数が上がるからn=m-1まで成立と仮定してn=mで成立を示して全部成立を示そうとしているんですよね >1 二項定理を知っていて、展開できる。すなわち >2 数学的帰納法とは この2つは分かっていますよ >(ii)は、ある自然数をkとすると1<s<=kのすべてのSについて命 >題Q(s)が真であると仮定 >するとn=k+1の命題Q(k+1)も真になる、ことを証明する >という意味で理解してください。 解説ではp<=m-1での成立を仮定してp=mでの成立を示して全部成立という流れのようですが、p<=m仮定p=m+1成立で全部成立という流れよりp<=m-1仮定の方が楽とあるんですが、これの理由は何でですか？普通はp<=m仮定じゃないですか？ >あなたが作った模様のhttp:// サイトは解説者の同意の下です> >か。違法コピーと解釈されるのが心配です。 どうなんですかね、皆やってるし、この本にも転載がどうとかってことは書いてないんですが、でもそんな事言いだしたら、問題と解説をそのまま手書きで投稿することも駄目って事になるんですか？ 質問とか出来なくなるんじゃないですか？