近似値

質問

http://photon.c.u-tokyo.ac.jp/~kuga/lectures/QuantumPhysics/08/stuff/081224/081224MysteryOfSpectralLines2.pdfの2枚目の真ん中の式です。についてです。

Dirac の相対論的量子力学による計算から水素原子のエネルギー固有値は次のようになる。

と書いてある後の式では近似が使われています。αで近似していることは分かるのですが、計算が煩雑すぎて自力では導き出せません。

結果はそこに書いてあるので、どなたか途中の過程がわかるように教えてください。

回答No.5

178-tall · ベストアンサー

駄弁っていてもしょうがないので、少々ばかり試算でも。
　　α^2 = x
　　k = j+(1/2)
　　D = (n-k) + k√{1-(x/k^2)}
などと略記すると、
　　f(x) = √{1+(x/D^2)}　　　…(1)
のマクローラン展開らしい。

D(0) = n だから、(1) にて x = 0 として、
　　f(0) = n

また、
　　f'(x) = (1/2){1 + (x/D^2)}'/√{1+(x/D^2)}
だが、
　　{1 + (x/D^2)}' = (2xD' -D)/D^3　　　…(2)
にて x = 0 としてみれば、(2) は -1/D^2 = -1/n^2 なので、
　　f'(0) = -1/(2n^2)

…差し当たりここまでとして、"any objections ?"

お礼

なんとなくやり方がわかりました。

そして何に困っていたのかがよくわからなくなりました。
ありがとうございました。

回答No.9

178-tall

前例と同様、
　x = a^2
　k = j+(1/2)
　D = (n-k) + k√{1-(a/k)^2)}
などと略記し、
　f(x) = √{1+(x/D^2)}
のマクローラン展開。

　f(0) = 1

　f'(x) = (1/2){1+(x/D^2)}^(-1/2) * {1+(x/D^2)}'
　　　　= (1/2){1+(x/D)^2}^(-1/2) * (D - 2xD')/D^3
a = 0 のときの非零項を拾い出す。
D(0) = n なので、
　f'(0) = 1/(2n^2)

　f''(x) = (-1/4){1+(x/D^2)}^(-3/2) * {(D - 2xD')/D^3}^2
　　　　　+ (1/2){1+(x/D)^2}^(-1/2) * {(D - 2xD')/D^3}'
最後尾項　 {(D - 2xD')/D^3}' = -(D' + 2xD'')D^3 - 3(D - 2xD')D'D^2
a = 0 として非零項拾い。
D'(0) = -1/(2k) だから、
　f''(0) = -1/(4D^4) - 4D'/D^3
　　　　　= -1/(4k^4) + 2/(kn^3)
　　　　　= (2n/k - 1/4)/n^4

ここまで正しければ、マクローラン 2 項目までは、
　f(x) = 1 + x/(2n^2) + x^2(2n/k - 1/4)/(2n^4) + …

…けど、pdf の「展開」とは違いますね。

回答No.8

Tacosan

α^2 の項まででいいなら
http://okwave.jp/qa/q7582532.html
の通りなんだけど... なにがどうわからんの?

ところで, Enj の式が mc^2{...}^(1/2) だとしたら, その展開は間違ってるからね.

回答No.7

178-tall

my own objection, again

D(0) = 1 だから、(1) にて x = 0 として、
　　f(0) = 1

こりないね。

回答No.6

178-tall

my own objection

D(0) = n だから、(1) にて x = 0 として、
　　f(0) = 1

だろ。

回答No.4

178-tall

よくよく眺めたら、(a/n)^2 を変数としたマクローランの形ですね。

お礼

そうなんですか！！！

ほかの参考書をみたときにaの2次までで展開って書いてあったのですが・・・

回答No.3

Tacosan

どのオーダーまで近似したいんですか? そこにあるように α^4 の項まででいいくらいなら, 微分なんかしなくていいと思うんだけど....

お礼

2次まででしたいです。
よろしくおねがいします

回答No.2

178-tall

式の意味はチンプンカンプンですが、形式的な解釈だけでも。

k = j+(1/2) と略記。
　{1 + a^2/[(n-k) + k√{1 - (a/k)^2}]^2}^(1/2)
　= {1 + (a/n)^2/[(1-k/n) + (k/n)√{1 - (a/k)^2}]^2}^(1/2)
　にて (a/n) を変数としたマクローラン展開
…なんじゃありませんか？

お礼

ごめんなさい。

かきわすれてたのですが、aでテイラーＯＲマクローリン展開しています。

回答No.1

Tacosan

どう煩雑なんでしょうか?

お礼

テイラー展開したいのですが、うまく微分ができないので悩んでいます。