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三角関数の近似の問題

三角関数の近似の問題 以下式の(1)式に(2)式の条件を適用すると、(3)式のように近似できます。 しかし、なぜ(3)式のように近似できるのかわかりません。 ちなみに、これは量子力学における1次元の束縛状態の、 ブロッホの定理を使って周期的ポテンシャルの中のエネルギーバンドを 求める問題の中で出てきました。

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 bρ^2=const., b→0, V0→0 の条件から、   bρ→0, ρ→∞ となります。  このことから、1次までの近似をしますと、次のようになります。   cosh(bρ)→1   sinh(bρ)→bρ  あとは、これらの関係を式(1)に代入して整理していけば求められます。  -1≦cos(ak2)cosh(bρ)-(k2^2-ρ^2)/(2k2ρ) sin(ak2)sinh(bρ)≦1  -1≦cos(ak2)-(k2^2-ρ^2)/(2k2ρ) sin(ak2)bρ≦1 (1次近似) ⇔-1≦cos(ak2)-(bk2^2-bρ^2)/(2k2) sin(ak2)≦1  -1≦cos(ak2)+bρ^2/(2k2) sin(ak2)≦1   (∵b→0)  -1≦cos(ak2)+(abρ^2/2)/(ak2) sin(ak2)≦1  (a≠0の条件が必要) ∴-1≦cos(ak2)+γ sin(ak2)/(ak2)≦1  ちなみに、式(3)のsinの中のkxはk2の誤記ですよね。

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質問者からのお礼

親切丁寧なご回答、誠にありがとうございました。 無事理解することができ、大変うれしく思っております。 ちなみに、式(3)のsinの中のkxはk2の誤記です。

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  • 回答No.3
  • htms42
  • ベストアンサー率47% (1120/2361)

sinxとsinhx cosxとcoshx は異なるということが分かっておられないのではありませんか。 質問のタイトルを見るとそういう感じがします。 x<<1の時 sinx~x    sinhx~x     cosx~1   coshx~1 この範囲ではよく似ていますが。

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質問者からのお礼

ご回答ありがとうございます。 三角関数と双曲線関数の違いは、わかっておりました。 >x<<1の時 >sinx~x    sinhx~x     >cosx~1   coshx~1 > >この範囲ではよく似ていますが。 これに気づいていませんでした。

  • 回答No.1
  • Tacosan
  • ベストアンサー率23% (3656/15482)

k_2 が定数でいいなら, b\rho がどうなるかを考えるとわかる.

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質問者からのお礼

ご回答いただきありがとうございます。 b\rhoがどうなるかをどう考えればいいのか、わからず考えている最中です。

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