近似値

質問

http://photon.c.u-tokyo.ac.jp/~kuga/lectures/QuantumPhysics/08/stuff/081224/081224MysteryOfSpectralLines2.pdfの2枚目の真ん中の式です。についてです。

Dirac の相対論的量子力学による計算から水素原子のエネルギー固有値は次のようになる。

と書いてある後の式では近似が使われています。αで近似していることは分かるのですが、計算が煩雑すぎて自力では導き出せません。

結果はそこに書いてあるので、どなたか途中の過程がわかるように教えてください。

回答No.9

178-tall

前例と同様、
　x = a^2
　k = j+(1/2)
　D = (n-k) + k√{1-(a/k)^2)}
などと略記し、
　f(x) = √{1+(x/D^2)}
のマクローラン展開。

　f(0) = 1

　f'(x) = (1/2){1+(x/D^2)}^(-1/2) * {1+(x/D^2)}'
　　　　= (1/2){1+(x/D)^2}^(-1/2) * (D - 2xD')/D^3
a = 0 のときの非零項を拾い出す。
D(0) = n なので、
　f'(0) = 1/(2n^2)

　f''(x) = (-1/4){1+(x/D^2)}^(-3/2) * {(D - 2xD')/D^3}^2
　　　　　+ (1/2){1+(x/D)^2}^(-1/2) * {(D - 2xD')/D^3}'
最後尾項　 {(D - 2xD')/D^3}' = -(D' + 2xD'')D^3 - 3(D - 2xD')D'D^2
a = 0 として非零項拾い。
D'(0) = -1/(2k) だから、
　f''(0) = -1/(4D^4) - 4D'/D^3
　　　　　= -1/(4k^4) + 2/(kn^3)
　　　　　= (2n/k - 1/4)/n^4

ここまで正しければ、マクローラン 2 項目までは、
　f(x) = 1 + x/(2n^2) + x^2(2n/k - 1/4)/(2n^4) + …

…けど、pdf の「展開」とは違いますね。