力学の問題について

質問

力学の問題について質問させていただきます。

以下の問題を解いたのですが、あっているか不安なので、答え合わせをお願いします。
また、間違っている答えがありましたら、解説をお願いしたいです。

Ｑ. 図に示すように、角度θのくさびを水平方向の力Fで押し込み、斜面abで接している荷物を鉛直方向に押し上げたい、くさびと荷物はそれぞれ摩擦を無視できる水平な床面cdと垂直な壁efに接している。荷物は重力Wが作用するがくさびの重さは無視して良い。以下の問いに答えよ。

1. 斜面abにおいても摩擦が無視できるとき、荷物が静止した状態を保つのに必要な力Fの大きさを求めなさい。また、その際に斜面abからくさびに作用する垂直抗力P、床面cdからくさびに作用する垂直抗力Q、および壁efから荷物に作用する垂直抗力Rについてもそれぞれ大きさを求めなさい。Fを求める際にP、Ｑ、Rを用いてはならない。P、Q、Rを求める際にはFを用いてよい。

2. 斜面abについてのみ、静止摩擦係数μのまさつりょくが生じるとき、荷物が動き出すために必要な力Fを求めなさい。

----------------------------------------------------------------------------------
・私の答え
1. F = Wtanθ
P = F/sinθ
Q = W
R = F

2. F > Wtanθ/(1+μtanθ)
となるようにFをかければ、荷物は動き出す。

・2.に関して
2.を求める際に、荷物に関して垂直方向の力を書き出し、上向きを正として
Pcosθ + μPsinθ- W > 0
となれば上向きに動き出すと考え、その際にPに1.で求めた、
P=F/sinθ
を代入したのですが、静止しているときの式を、上向きに動き出す条件式に代入してもよかったでしょうか？

回答よろしくお願いいたします。

回答No.2

Quarks · ベストアンサー

ANo.1です。

すみませんm(__)m　誤った答を出してしまいました。訂正します。

添付図のように、力は働いています（壁や床からの垂直抗力は、今回の考察には影響しないので、示しませんでした）。

添付図の太矢印は 荷物 に掛かる力群、細矢印は くさび に掛かっている力です。

荷物について、鉛直方向に動きだす条件から
　Ｗ＋μＰ・sinθ＜＝Ｐ・cosθ
　Ｗ＜＝Ｐ(cosθ－μsinθ)　　式（１）
くさびについて、水平方向に動く条件から
　Ｆ＞＝Ｐsinθ＋μＰcosθ　　　式（２）

式２から　Ｐ＝＜Ｆ/(sinθ＋μ・cosθ)
これを、式(1)に代入して

　Ｗ＜＝Ｐ・(cosθ－μsinθ)＜＝{Ｆ/(sinθ＋μ・cosθ)}・(cosθ-μsinθ)}
∴　Ｆ＞＝Ｗ・(sinθ＋μ・cosθ)/(cosθ-μsinθ)
　　＝Ｗ・{(taθ＋μ)/(１－μtanθ)}

また、
>P=F/sinθ
>を代入したのですが、静止しているときの式を、上向きに動き出す条件式に代入しても
>よかったか？

こちらも、質問者さんのおっしゃっていた意味を誤解していました。　上記のように、静止摩擦力を考慮しなくてはならないので
　P　＝　F/sinθ　とおくわけいにはいきません。

お礼

Quarks 様
いつも回答していただいてありがとうございます！

図で説明していただいて非常にわかりやすかったです！
間違えて、くさびが受けている摩擦力を考えてしまいました(汗)
大変参考になりました！

回答No.1

Quarks

1.については、正しいと思います。

>2.を求める際に、荷物に関して垂直方向の力を書き出し、上向きを正として
>Pcosθ + μPsinθ- W > 0

ちょっと違います。
荷物に掛かる、静止摩擦力は、ab　に平行で、右下向きです。
ですから

　Ｐ・cosθ>μＰ・sinθ＋Ｗ
が条件となります。
∴　Ｆ>Ｗtanθ/(1-μ・tanθ)

なお
>静止しているときの式を、上向きに動き出す条件式に代入してもよかったでしょうか？

はい。（静止）摩擦力が、最大摩擦力に達した瞬間、物体は滑りだす（＝でも、まだ動きだしてはいない）と考えるのですから。