簡単な円錐容器の問題

質問

現在流体力学の演習問題に取り組んでいるのですが答えが付いていなくて正解かわかりません。どうか正解かどうか教えてください。

問題
　半径a,高さhの円錐容器を密度ρの水で満たす。重力加速度をｇ、水面における大気圧をPoとする。円錐頂点の座標を頂点とする円筒座標系（r,θ,z)を用いて以下の問いに答えよ。ただし表面張力は無視してよい。

（１）円錐容器が満水の時水中の点（r,θ,z)での圧力P1は？

次に、この円錐容器内の水をz軸まわりに角速度Ωで回転させる。

（２）水面の形を表す関数Zo=Zo(r,θ,z)を求め、こぼれた水の体積V1を求めよ。

（３）円錐容器の側壁面上の点（az/h,θ,z)での圧力P2は？

私の解答
　（１）P1-Po=ρg(h-z)よりP1=ρg(h-z)+Po

(2)遠心力と重力の関係から
dz/dr=ｍrΩ^2/ｍgより

　　　　ｚ＝rΩ^2/２g

　　　　よってV1=π∫r^2dz=gz^2/Ω^２

　　　　ここでｚ＝rΩ^2/２gを上式に代入してｒ＝aとおくと

　　　　V１=Ω^2h^4/(4g)

(3)ベルヌーイの定理より

　　　　P１/（ρｇ）＋ｈ＝P２/（ρｇ）＋ｚ＋u^2/(2g)

ここで速度uはu=Ωr=Ωaz/hを代入して

　　　　P２=P１+(h-z)ρg－Ω^２a^２z^２/（２gh）

回答No.1

superkamecha · ベストアンサー

答がついていないとは、不親切な演習問題だなぁ。
では！　といいながら指針だけですが・・・
（１）はＯＫです。で、（２）からがおかしくなっていますね。ｄｚ／ｄｒ　の方程式を解くのに、積分定数を忘れています。ｒ＝ａ　にて　ｚ＝ｈ　でなければなりません。これを考慮すると、水面形状を表す式は、
（Ａ）　ｈ－ｚ＝Ω＾２／ｇ・（ａ＾２－ｒ＾２）　となるはずです。次に、こぼれる水の体積は、ｄｚの積分ではないですね。（Ａ）式で表される’へこみ量’（ｈ－ｚ）に２πｒｄｒをかけて、０→ａ　までの積分ですね。結果はΩ＾２・ａ＾４／２ｇ　となるはずです。
（３）は、これは’流れ’ではないので、ベルヌーイの定理を使う問題ではありません。これは、「等圧面」を考える問題です。
（Ａ）式が”表面”の等圧面を与えますが、積分定数の取り方次第で、この式は”等圧面の群”を示しています。これと、（１）の結果を用いれば、（３）が求まるはずですよ。

お礼

なるほど！どうもありがとうございました。