円錐の慣性モーメントを求めると・・・

質問

円錐の慣性モーメントを求めると・・・

どんな座標系で求めても一致するはずなのですがデカルト座標で計算したら正解とは異なる結果がでてしまいました。
自分でデカルト座標で計算したものを書きますのでどこが間違ってるのか指摘してください。
円錐 高さｈ 底面の半径 Rとして底面にｘ、ｙ座標、底面積の中心から頂点へ向かうを軸をz座標とすると

Ｉ＝∬ρ(x^2 + y^2)dV＝∬∫ρ(x^2 + y^2)dｘｄｙｄｚ

これをまずｘについて-Ｒ(z-h)/ｈ～Ｒ(z-h)/ｈまで積分する

＝2ρ∬[1/3x^3 + xy^2]ｄｙｄｚ 範囲ｘ＝０～Ｒ(z-h)/ｈ

＝2ρ∬1/3｛Ｒ(z-h)/ｈ｝^3 + ｛Ｒ(z-h)/ｈ｝y^2ｄｙｄｚ

次にｙについて同様に-Ｒ(z-h)/ｈ～Ｒ(z-h)/ｈまで積分する

＝４ρ∫[1/3｛Ｒ(z-h)/ｈ｝^3 ｙ+ １/3｛Ｒ(z-h)/ｈ｝y^3]ｄz 範囲y＝０～Ｒ(z-h)/ｈ

＝４ρ∫1/3｛Ｒ(z-h)/ｈ｝^4+ １/3｛Ｒ(z-h)/ｈ｝y^4ｄz

＝４ρ∫２/3｛Ｒ(z-h)/ｈ｝^4ｄz

最後にｚについて０～ｈで積分すると

＝４ρ[２/3｛Ｒ(z-h)/ｈ｝^4]

＝８/１５ρＲ^4ｈ

となり正しい慣性モーメントπ/10ρＲ^4ｈとは異なってしまいます。
この式変形どこが間違ってますでしょうか？積分計算のやり方が間違ってるのかなぁ（￣ー￣?）それとも範囲のとりかたか。。

回答No.1

eatern27 · ベストアンサー

>これをまずｘについて-Ｒ(z-h)/ｈ～Ｒ(z-h)/ｈまで積分する
>次にｙについて同様に-Ｒ(z-h)/ｈ～Ｒ(z-h)/ｈまで積分する

-r≦x≦r
-r≦y≦r
で表される領域は半径rの円板ではなく一辺2rの正方形です。

回答No.2

sanori

こんにちは。

密度ρ、半径ｒ、厚さｄｚ　の円盤の慣性モーメントは、
ｄｚ・∫[x=0⇒r]（密度ρ、１周２πｘ、太さｄｘの輪の質量）×ｒ^2
　＝　ｄｚ∫[x=0⇒r]（ρ・２πｘｄｘ）ｒ^2
　＝　２πρｄｚ∫[x=0⇒r]ｘ^3ｄｘ
　＝　２πρｄｚ・ｒ^4／４
　＝　πρｒ^4／２・ｄｚ

最後にｚについて積分して
πρＲ^4ｈ／１０
となります。

重積分には疎い私ですが、
∫ρ(x^2 + y^2)ｄｘｄｙ
でｘとｙについてそれぞれ積分するのは、おそらくまずいと思います。
なぜならば、円の円周（ｘ^2＋ｙ^2）とｘ（あるいはｙ）は、垂直の関係にないからです。
たとえるならば、三角形の面積を求めるとき、垂直な高さではなく斜辺の長さを掛け算してしまっているようなものだと思います。
（上述の私の計算の仕方で、「１周２πｘ、太さｄｘの輪の質量」において、太さ方向が１周の長さ方向と常に垂直の関係にあることに注目してください。）