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幾何学の問題です。
点Po (xo, ｙo, zo)を通り、方向ベクトルが u=(u_1, v_1, w_1) 及び v=(u_2, v_2, w_2) (ベクトルuとvは一次独立）である直線のいずれにも垂直な直線の方程式を求めよ。 よろしくおねがいします。
- gaiouoiuop
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- alice_44
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問題の条件に沿って、素直に… 求める直線の方向ベクトルのひとつを (a,b,c) と置くと、 垂直の条件から、au1+bv1+cw1 = au2+bv2+cw2 = 0 …[1] である。 連立一次方程式を解くと、三元二連立から a,b,c の比が決まり、 a : b : c = v1w2-v2w1 : w1u2-w2u1 : u1v2-u2v1. よって直線は、パラメータ表示で (x,y,z) = (x0,y0,z0) + t(v1w2-v2w1,w1u2-w2u1,u1v2-u2v1). パラメータ t を消去して、方程式で (x-x0)/(v1w2-v2w1) = (y-y0)/(w1u2-w2u1) = (z-z0)/(u1v2-u2v1) と書ける。 [1] を満たす (a,b,c) には、(u1,v1,w1) と (u2,v2,w2) との 「外積」という名前が付いている。その求め方は、上記のとおり。
- info22_
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u,vに垂直な方向ベクトルはベクトル積u×vで得られる。 このことから 求める直線上の点の座標を(x,y,z)とおくと、媒介変数をt使った垂直な直線の方程式は (x,y,z) =(xo, ｙo, zo)+t(u1, v1, w1)×(u2, v2, w2) =(xo+t(v1w2-v2w1),yo+t(u2w1-u1w2),zo+t(u1v2-u2v1)) となります。 媒介変数tを使わない直線の方程式に直せば (x-xo)/(v1w2-v2w1)=(y-yo)/(u2w1-u1w2)=(z-zo)/(u1v2-u2v1) となります。
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