フーリエ級数展開を用いた偏微分方程式の解き方

質問

フーリエ級数展開を用いた偏微分方程式(1次元波動方程式)の問題を教えてください。
似た問題は解けますが、これがどうしてもわかりません。
できれば変数分離法でお願いします。
問題に間違いはありません。

回答No.1

muturajcp · ベストアンサー

0≦x≦π
0≦t
u_tt=u_xx+u
u(0,t)=u(π,t)=0
u_t(x,0)=0
u(x,0)=sinx+2sin(2x)
u(x,t)=f(x)g(t)+h(x)+p(t)
とすると
u(0,t)=f(0)g(t)+h(0)+p(t)=0
p(t)=0
u(x,t)=f(x)g(t)+h(x)
u(x,0)=f(x)g(0)+h(x)
u_tt=f(x)g"(t)
u_xx+u=g(t){f"(x)+f(x)}+h(x)+h"(x)
f(x)g"(t)=g(t){f"(x)+f(x)}+h"(x)+h(x)
h"(x)+h(x)=0
g"(t)/g(t)={f"(x)+f(x)}/f(x)=a
g"(t)-ag(t)=0
f"(x)+(1-a)f(x)=0
h(x)=c4cosx+c5sinx
f(x)g(0)+h(x)=sinx+2sin(2x)
f(x)g(0)=(1-c5)sinx-c4cosx+2sin(2x)
f'(x)g(0)+h'(x)=cosx+4cos(2x)
f"(x)g(0)+h"(x)=-sinx-8sin(2x)
{f"(x)+f(x)}g(0)=-6sin(2x)
=a{(1-c5)sinx-c4cosx+2sin(2x)}=-6sin(2x)
a=-3
c5=1
c4=0
h(x)=sinx
g"(t)+3g(t)=0
f"(x)+4f(x)=0
g(t)=c2cos(t√3)+c3sin(t√3)
f(x)=c0cos(2x)+c1sin(2x)
u(x,t)={c0cos(2x)+c1sin(2x)}{c2cos(t√3)+c3sin(t√3)}+sinx
u(x,0)=c2{c0cos(2x)+c1sin(2x)}+sinx=sinx+2sin(2x)
c0=0
c2c1=2
u_t(x,0)={c3√3}{c0cos(2x)+c1sin(2x)}=0
c3=0
∴
u(x,t)=sinx+2sin(2x)cos(t√3)