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フーリエ級数展開を用いた偏微分方程式の解き方
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0≦x≦π 0≦y u_xx+u_yy=0 u(0,y)=u(π,y)=0 u(x,0)=3sinx u(x,y)=f(x)g(y) とすると u_xx=g(y)f"(x) u_yy=f(x)g"(y) u_xx+u_yy=g(y)f"(x)+f(x)g"(y)=0 f(x)g"(y)=-g(y)f"(x) g"(y)/g(y)=-f"(x)/f(x)=a f"(x)+af(x)=0 g"(y)-ag(y)=0 u(x,0)=f(x)g(0)=3sinx -3asinx=-af(x)g(0)=f"(x)g(0)=-3sinx a=1 f"(x)+f(x)=0 g"(y)-g(y)=0 f(x)=(c0)cosx+(c1)sinx g(y)=(c2)e^y+(c3)e^{-y} u(x,y)=[(c0)cosx+(c1)sinx][(c2)e^y+(c3)e^{-y}] u(0,y)=(c0)[(c2)e^y+(c3)e^{-y}]=0 u(π,y)=-(c0)[(c2)e^y+(c3)e^{-y}]=0 c0=0 u(x,y)=(c1)(sinx)[(c2)e^y+(c3)e^{-y}] u(x,0)=(c1)(c2+c3)sinx=3sinx (c1)(c2+c3)=3 ∴ u(x,y)=(sinx)[Ce^y+(3-C)e^{-y}]
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