• ベストアンサー
  • すぐに回答を!

二階偏微分方程式

今、偏微分方程式の勉強をしているのですが、なかなか頭に入りません。二階偏微分方程式(たとえば拡散方程式や波動方程式)の解法として、変数分離法やフーリエ級数展開などがありますが、ほかにどのようなものがあるでしょうか。またどのような場合にどの解法を採用すべきかということに関する助言もお願いします。どうかよろしくお願いします。

noname#70507
noname#70507

共感・応援の気持ちを伝えよう!

  • 回答数2
  • 閲覧数413
  • ありがとう数4

質問者が選んだベストアンサー

  • ベストアンサー
  • 回答No.2

回答が大変遅くなってしまい申し訳ありません。 積分因数は,かけることで方程式を完全微分形に変形できるような因数です。 詳しくは,たとえば下記のサイトなどをご覧下さい。 積分因数について: http://bowie.mech.nagasaki-u.ac.jp/~sai/Math/TeXT/node24.html 一般的な解法: http://bowie.mech.nagasaki-u.ac.jp/~sai/Math/TeXT/node1.html

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

質問者からのお礼

積分因子のことですね。解答ありがとうございました。

その他の回答 (1)

  • 回答No.1

恐らく解析的に(紙と鉛筆で)解くことを考えておられると思うので,もしかすると的外れかもしれませんが,実務的な場面で解く場合には,たとえば差分化により線形連立方程式に変えるなどして,数値的に(計算機で)解く場合が多いと思います。解析的に解く場合には,微分方程式の種類に応じて積分因数を発見する方法が汎用的だと思います。 ご参考までに。

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

質問者からのお礼

解答ありがとうございます。ところで、積分因数とは何のことでしょうか。初めて聞いた言葉なのですが。

関連するQ&A

  • フーリエ級数展開を用いた偏微分方程式の解き方

    フーリエ級数展開を用いた偏微分方程式(1次元波動方程式)の問題を教えてください。 似た問題は解けますが、これがどうしてもわかりません。 できれば変数分離法でお願いします。 問題に間違いはありません。

  • フーリエ級数展開を用いた偏微分方程式の解き方

    フーリエ級数展開を用いた偏微分方程式(2次元ラプラス方程式)の問題を教えてください。 似た問題は解けますが、これがどうしてもわかりません。 できれば変数分離法でお願いします。 問題に間違いはありません。

  • 偏微分方程式 (変数分離法)

    変数分離法を用いて、偏微分方程式 ∂u/∂t + u*∂u/∂x = 0 u(x,t)の特解を求めよ。 この問題を解ける方は、解法を教えていただきたいです。

  • 偏微分方程式について

    偏微分方程式の問題では、よく波動方程式や熱伝導方程式などの物理的意味のある問題が登場しますが、それ以外の偏微分方程式(連立偏微分方程式や3次の偏微分方程式など)はあまり重要ではないのでしょうか。

  • 波動方程式の解法

    偏微分方程式の本にはラプラス方程式の解法として  変数分離法  Green関数法  変分法  アプリオリ評価法  境界上の積分方程式に帰着する方法  ペロンの方法  複素関数的方法 の七つが挙げられていました。これをダランベールの波動方程式  (∂^2/∂t^2 - ∇^2)φ=0 にあてはめて考えると、変数分離法、Green関数法、変分法は共通して使えます。双曲型方程式には特性曲線による方法があります。ファインマンの経路積分法もあると思います。双曲型方程式の場合、アプリオリ評価法、境界上の積分方程式に帰着する方法、ペロンの方法に相当するようなものはないのでしょうか。また、複素関数的方法は解析関数の実部と虚部が調和関数になることを使うため、波動方程式に使うことは難しいと思いますが、全く不可能でしょうか。

  • 偏微分方程式の逆解析について

    偏微分方程式がすべて分かっていて、ある境界条件の下に解を求めるという順解析の逆、すなわち答え(解)が実験などによって分かっていて偏微分方程式の未知パラメータを推定するということを考えます。偏微分方程式の微分の各項を実験データから評価して、未知パラメータを推定することはできると思います。パラメータ1個乃至2個に対して実験データは数十から数百ぐらいあるとしたら、推定するパラメータの具体的な値も数百出てくると思われます。その中で最も妥当な方法を推定するのが逆解析というものなのでしょうか。 具体的には1次元の拡散方程式のようなものであり、拡散係数が未知だとします。拡散方程式の各項を時空間の各点で推定することができますが、その中から最適なものを選んで推定するのが逆解析なのでしょうか。射影とか集合とか線形代数を駆使するようで、上記の方法はイージーすぎるようにも思うのですが。1次元の拡散方程式に対応した実験から拡散方程式の拡散係数を妥当に求めるにはどうしたらいいでしょうか。

  • 波動方程式の解のうち2次式が省かれるのはなぜ?

    波動方程式の解のうち2次式が省かれるのはなぜでしょう。 変数分離法で解けるのはわかるのです。けれど、 時間tと位置xの波動方程式 ∂^2 f /∂ t^2 = - a ∂^2 f /∂x^2 だとして、 f(x,t)=x^2 - a t^2 のような解も成り立つはずですが、これに触れている教科書等を 見たことがありません。三角関数の和の話ばかりです。 なぜでしょう? 「波動」にならないから、といった、答えの対象を波動に限定しているからでしょうか? しかし、数学の問題だとすると、 境界条件さえ満たせばこれも解だと思うのです。 何か単純な勘違いをしているのでしょうか?

  • 物理現象を対象とした偏微分方程式

    偏微分方程式には、2階の偏微分方程式がよく取り上げられると思うのですが、 (波動方程式など) 1階の偏微分方程式はどのような場面で取りあげられるのでしょうか? あまり見たことがないので疑問に思いました。 何となくですが、電磁波などの波に関する物理現象を考える場合に 現れそうな気がするのですが・・・ また、なぜ2階の偏微分方程式の方が学問的にもより考えられているのかがよくわかりません・・ どなたかわかる方教えてください。

  • 偏微分方程式、初期境界値問題

    以下のu(t,x)に関する偏微分方程式の初期境界値問題を変数分離法を用いて解け。 ∂u/∂t = (6/π^2)∂^2u/∂x^2 +12u x⊂(0,1),t>1 u(0,x)=cos(2πx) x⊂(0,1) ∂u/∂x=0 (x=0) t>0 ∂u/∂x=0 (x=1) t>0 全然わからないので解答お願いします。

  • Dirac方程式について

    質問1. Dirac方程式を量子化する前の式 ε/c=α1p1+α2p2+α2p3+βmc は、古典力学の式として、何か利用価値は無いのでしょうか? α1、α2、α2、β:行列 質問2. また、この式を量子化せずに形を波動方程式にすることができるように思われるのですが、 そのようにしても、古典力学の式として何か、利用価値は無いのでしょうか? 質問3. この場合、4つの式になりますので、波動関数を掛けないと答えは、出ないのでしょうか?とすると、やはり量子化しないと意味は無いのでしょうか? 質問4. 一般に波動方程式を解く際、微分方程式の本を見ると、変数分離とか何やらで、 しんきくさい解き方をしていますが、例えばDirac方程式の平面波の計算では、 波動関数を掛けて、固有値・固有ベクトルを一気に計算して求めます。 古典力学的な波動方程式や熱伝導微分方程式で、Dirac方程式のように 波動関数に近いものを掛けて、固有値・固有ベクトルを求めている 例はあるのでしょうか? 質問5. 微分方程式の本に載っている古典力学の計算「例えば変数分離を使って波動方程式を解いた例」を、時間がかかり非効率的になるかもしれませんが、Dirac方程式の平面波の計算のように、波動関数(あるいはそれに近いもの)を掛けて、固有値・固有ベクトルを計算して求めることは可能でしょうか。