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モーメント
長さl、質量mの棒を滑らかな鉛直の壁に立て掛ける 床は粗く、静止摩擦係数をμとする 角度θを徐々に小さくしていくとやがて棒は滑り出す その直前の角をθ0として、tanθ0を求めよ 図は書いたのですが、どのように力のモーメントが釣り合うのか分かりません 教えてください!
- 物理学
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"力のモーメント" について、基本的なことを確認しておきます。 Ｏ，Ｐに伸びる棒があります。 Ｏ点が回転軸で、棒の一点Ｐに力Ｆが作用しています。 力Ｆが、棒を回転させることを考えます。 Ｆを図のように、２つの成分に分けて見ると Ｆ" は、回転に寄与していません。Ｆ"の方向に力を加えても、棒は回転するはずがないからです。 このことから、Ｆの成分Ｆ'（棒に垂直な方向の分力）が、真に回転に寄与する成分であることがわかります。 つまり、Ｆの、Ｏ点回りのモーメントの大きさＭは Ｍ＝Ｆ'・Ｌ＝（Ｆ・sinθ）・Ｌ となります。 ところで、式は、Ｆ・（Ｌ・sinθ）と見ることもできます。 この式の L・sinθ が、 腕の長さ と呼ばれる量です。 図形的に見ると L・sinθ＝ＯＱの長さ です。 ＯＱは、力Ｆの作用線（Ｐ，Ｑを通る直線）に、 Ｏ点から下した垂線 と位置づけられます。 以上から、力Ｆのモーメントの大きさは、 （１）Ｆ'×ＯＰ または （２）Ｆ×ＯＱ として表すことができることになります。 もちろん、どちらで表しても構いません。 蛇足になりますが、θの代わりに 180°－θ を使っても sinθ＝sin(180°－θ） が成り立ちますから、力 F と、FとOPのなす角度は 鋭角を使っても鈍角の方を使っても同じ結果を与えます。
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- Quarks
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>重力によるモーメントはうでの長さがcosθ0×l/2で力がmgということでいいのでしょうか？ その通りです。 確認しておきましょう。力のモーメントの大きさは 力の大きさ・腕の長さ として表されます。 ここで、「腕の長さ」とは、注目している力の作用線と、回転軸との距離（回転軸から、力の作用線に下した垂線の長さ）です。 添付図で、Ａ点のまわりのモーメントを考えるのですから、回転軸はＡ点として考えることになります。 （１）ｍｇによるモーメントは 力の大きさ＝ｍｇ 腕の長さは、ｍｇの作用線（添付図の Ｄ，Ｍを通る直線）に、Ａから下した垂線ＡＤの長さです。 腕の長さ＝図のＡＤ＝(L/2)・cosθ ∴モーメント＝ｍｇ・(L/2)・cosθ で右回り >垂直抗力のモーメントはどの三角形を見てるのでしょうか？ まず、鉛直方向の力の釣り合いから Ｎ＝ｍｇ という関係が成り立っていることがわかります。 （２）Ａ点のまわりの、Ｎによるモーメントでは 力の大きさ＝Ｎ＝ｍｇ Ｎの作用線はＢ，Ｃを通る直線ですから 腕の長さ＝ＡＣ（ＯＢと同じ長さ)＝Ｌ・cosθ ∴モーメント＝ｍｇ・Ｌ・cosθ で 左回り （３）Ａ点のまわりの、摩擦力 Ｆ によるモーメントでは 力の大きさ＝Ｆ＝μＮ＝μ・ｍｇ Ｆの作用線はＢ，Ｏを通る直線ですから 腕の長さ＝ＡＯ＝Ｌ・sinθ ∴モーメント＝μ・ｍｇ・Ｌ・sinθ で右回り 最後の力（Ａ点に作用している、壁面からの垂直抗力Ｎ'）によるモーメントは０（回転軸に加わる力は物体を回転させる能力を持ちませんから、そのモーメントは常に０）ですから、 棒が回転しない＝”棒に作用しているすべての力のモーメントの和＝０” という条件は ｍｇ・(L/2)・cosθ＋μ・ｍｇ・Ｌ・sinθ＝ｍｇ・Ｌ・cosθ として表されます。 すべての項にｍｇＬが含まれていますから、整理すると簡単な式になって μ・sinθ＝(1/2)・cosθ ∴tanθ＝sinθ/cosθ＝1/(2μ)
お礼
とても分かりやすかったです!ありがとうございました!
- gohtraw
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重力は垂直下向きで、その大きさはｍｇ、作用点は棒の中点です。重力によるモーメントは 中心からの距離：Ｌ／２ 重力の、棒に垂直な成分：ｍｇｃｏｓΘ の積になります。 垂直抗力は垂直上向きで、その大きさはｍｇ、作用点は床との接点なのでそのモーメントは 中心からの距離：Ｌ 棒に垂直な成分：ｍｇｃｏｓΘ の積になります。 摩擦力は垂直効力に摩擦係数を掛けたもので、その方向は水平（棒と床の接点から壁に向かう方向）、作用点は床との接点です。そのモーメントは 中心からの距離：Ｌ 棒に垂直な成分：ｍｇμｃｏｓΘ＊ｓｉｎΘ の積になります。
補足
すみません 棒に垂直な成分とはどのことですか？その延長線上は何の点を通るのですか？
- gohtraw
- ベストアンサー率54% (1630/2965)
壁との接点を中心とした場合の （１）重力によるモーメント Ｌ／２＊ｍｇｃｏｓΘ （２）床から受ける垂直効力によるモーメント Ｌ＊ｍｇｃｏｓΘ （３）床から受ける摩擦力によるモーメント μＬ＊ｍｇｃｏｓΘ＊ｓｉｎΘ が釣り合います。（１）と（３）は同じ方向、（２）だけが逆方向なので Ｌ／２＊ｍｇｃｏｓΘ＋μＬ＊ｍｇｓｉｎΘｃｏｓΘ＝ＬｍｇｃｏｓΘ ｃｏｓΘ／２＋μｓｉｎΘｃｏｓΘ＝ｃｏｓΘ μｓｉｎΘ＝ｃｏｓΘ／２ μｔａｎΘ＝１／２
補足
すみません 重力によるモーメント Ｌ／２＊ｍｇｃｏｓΘ 床から受ける垂直効力によるモーメント Ｌ＊ｍｇｃｏｓΘ 床から受ける摩擦力によるモーメント μＬ＊ｍｇｃｏｓΘ＊ｓｉｎΘ 重力によるモーメントはうでの長さがcosθ0×l/2で力がmgということでいいのでしょうか？ 垂直効力のモーメントはどの三角形を見てるのでしょうか？ 摩擦力のモーメントはなぜこんな式になったのでしょうか？ 教えてください!
お礼
さらなる解説ありがとうございました!