モーメント

質問

モーメントの問題です。疑問箇所や間違ったところの解説をいただけると嬉しいです。

質量M、長さl（える）で密度が一様なはしごを、鉛直な壁と水平な床からなる部屋の壁に立てかける。壁に摩擦は無く、床には摩擦があり、その静止摩擦係数をμとする。はしごと、床および壁との接点をそれぞれA、B、はしごと鉛直線とのなす角をθ、重力加速度をgとして、以下の問いに答えてください。

(1)状況を図示し、はしごに働いている力をその図に書き入れましょう。

添付画像がそうです。何を意図した問題なのか、どう答えてよいのか分からずとりあえずNやRなど使いましたが問題文に無いのでまずいでしょうか？

(2)重力がはしごの各部分に及ぼしているA点の周りの力のモーメントは、はしごの重心位置に全質量が集まったときのA点の周りのモーメントに等しいことを示しましょう。

N・l・sinθ=(1/2)Mglcosθ
↑えぬえるsinθ

式を立てただけですがこれは示したと言えますでしょうか？

(3)はしごが受けている床の摩擦力を、これまでに提示された記号を用いて表しましょう。

μMgかと思ったんですがこれは図で言うＲであって床の摩擦力というとNとFにあたりますよね？
(2)の式を変形してN=F=(Mg)/2tanθでしょうか？

(4)このはしごを質量mの人が登った。A点から人の足元までの距離をXとして、はしごが受けている床の摩擦力をxの関数として表しましょう。

わからないです。はしごの受けている摩擦力とは(3)と同じくNとFのことでしょうか？

(5)この人がA点からはしごの2/3までのぼり、そこを越えた瞬間、はしごは床を滑り始めた。静止摩擦係数とtanθの関係を求めましょ。

(1/2)Mglcosθ+(2/3)mglcosθ=Nlsinθ
と立ててみたんですが、(3)、(4)と詰まってしまって進みません。
式があってるかどうかも不安です。

よろしくお願いします。

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回答No.1

hitokotonusi · ベストアンサー

(1)はこれでいいと思います。

(2)は長さdxの小部分に分割してそのモーメントの合計(積分)が

重心の位置にある質量Mの質点のモーメント＝(1/2)Mglcosθ

に等しい事を示す必要があります。

Aから距離xにある長さdxの小部分のモーメントは、質量が(M/l)dxなので

(M/l)dx x g cosθ= (Mgcosθ/l) xdx

なので積分すると

∫[0,l] (Mgcosθ/l) xdx = (Mgcosθ/l) [x^2/2](0,l) = (Mgcosθ/l) (l^2/2) = Mglcosθ/2

(3)はしごは静止しているので水平、鉛直方向の力がそれぞれ釣り合っています。
なので、ここでは

R=Ｍｇ
F=N

が成り立ちます。静止状態では摩擦力は垂直効力Rには比例しないのでこれ以上は書けません。
(垂直抗力に比例するのは静止最大摩擦力、または、動摩擦力)

この他に回転もしていないのでモーメントの総和が０という条件があるので

>N・l・sinθ=(1/2)Mglcosθ

が成り立ち、これらから

F = N = Mg cosθ/2 sinθ

を導きます。

質問文には

＞N=F=(Mg)/2tanθ

とありますが、摩擦力はあくまでもＦなので、

F = N = ・・・

でなければなりません。
tanθにするかcotθにするかsinθ、cosθのままにするかは好みの問題でしょう。

(4)は(3)の問題に質量mの人にかかる重力が加わります。したがって力のつり合いから

R=Ｍｇ + mg = (M+m)g
F=N

モーメントのつり合いから

N・l・sinθ=(1/2)Mglcosθ+ mg x cosθ=(Ml/2 + mx) gcosθ

したがって、摩擦力は

F = N = (M/2 + mx/l) g cosθ/sinθ

(5)滑りはじめたということはそこで摩擦力が静止最大摩擦力をちょうど越えたという事なので、

F = μR

が成りたちx=(2/3) l を代入して

(M/2 + 2m/3) g cosθ/sinθ=μ(M+ m) g

μtanθ=(M/2 + 2m/3)/(M+m) = (3M+4m)/3(M+m)

質問文を拝見して、式は覚えているものの式の意味を理解していないような印象を受けます。

お礼

本当にありがとうございます。
今まで曖昧な理解のままだった物理ですが数日後に行われるテストに合格しないと単位がもらえず大変なことになるので必死に覚えている最中です。
結構な量があるのですが資料が少なくなかなか理解できてない現状です。
丁寧な解説でとても助かります。

回答No.2

hitokotonusi

失礼。最後書き間違いました。

＞μtanθ=(M/2 + 2m/3)/(M+m) = (3M+4m)/3(M+m)

は

μtanθ=(M/2 + 2m/3)/(M+m) = (3M+4m)/6(M+m)

です。

お礼

了解しました。ありがとうございます。