壁に立てかけた滑る棒

質問

どなたか下記の問題の疑問についてご教授下さい。

問題
図のように長さl、質量mの一様かつ変形しない棒が水平な床とそれに垂直な壁との間に壁面とのなす角θ0で立てかけてある。この棒を質量Mの人が下端Pから登っていった。このとき以下の問いに答えよ。垂直な壁は滑らかであり、棒と壁の静止摩擦係数および動摩擦係数はともにゼロとみなす。また，重力加速度をgとする。なお棒の太さは無視し、人は棒上の質点として答えよ。

人が棒の中央(d=l/2)まで来たときに，棒の下端Pが床面を滑り始める場合を考える。棒が滑りながら倒れている途中の壁と壁面とのなす角をθとする。この角θに関する微分方程式を導け。ここで棒と床の間の動摩擦係数はゼロとする。また棒が滑りながら倒れているとき，人は棒の中央で棒と一体になって運動する。

疑問
θに関する微分方程式を導出するということですが、この場合そもそも点P周りのモーメントの運動方程式を立てて整理するという手順で正しいでしょうか？
また，モーメントの運動方程式のほかに，変位に関する運動方程式も立てると思うのですが、自身で以下のような方程式を立ててやってみたところ，立てる方程式が足りないのか未知数の変数Nが残ってしまいました。訂正個所をご指摘していただければ幸いです。

(M+m) d＾2x/dt^2=N
M l^2/4 * d^2θ/dt^2 = (m+M)*lg /2 * sinθ - N l cosθ

Nは壁面からの垂直抗力，M l^2/4は点P周りの慣性モーメントとして計算してみました。
よろしくお願いします。

回答No.1

yokkun831 · ベストアンサー

以下時間微分を「'」で表します。
壁と床の交点を原点として，水平方向にx軸，鉛直上方にy軸をとります。また，床からの垂直抗力をRとします。

剛体の運動は，重心の運動と重心まわりの回転運動に分けるのが一般的な方法です。

重心の運動方程式
(M+m)x'' = N
(M+m)y'' = R - (M+m)g
重心まわりの回転の運動方程式
ML^2/12・θ'' = R・L/2・sinθ - N・L/2・cosθ

x = L/2・sinθ
y = L/2・cosθ

の関係により，上式からN，R，x，yを消去して，θに関する微分方程式を得ます。

また，エネルギー保存を用いるのもひとつの方法です。

下記など参考になれば幸いです。

参考：
http://www14.atwiki.jp/yokkun/pages/401.html
http://www14.atwiki.jp/yokkun/pages/402.html

お礼

yokkun831さん
御返事いただきありがとうございます。
下端ではなく重心で考えるということですね。
分かりやすく説明してくださって助かりました。
参照先も大変参考になりました。