モーメントの問題での基本ベクトル表示

質問

長さL、重さＷのまっすぐで一様な棒を、鉛直な壁に立てかけ、下端を床の上に置き、水平な力Ｆを加えて、水平面と６０°の角をなす状態で釣り合わせた。摩擦はないものとする。
棒の上端が壁から受ける抗力をＫとする。水平な床から受ける抗力をＮとする。床の水平面にｘ軸、壁の垂直面にｙ軸を取り、交点を原点Ｏとする。力のモーメントなどのベクトルは三次元で表示する。

このような問題のとき、
力Ｋによる、原点Ｏのまわりの力のモーメントを基本ベクトルで表示したい場合はどのように書けば良いのでしょうか。

基本ベクトルで表示という意味が分りません。

回答No.4

ichiro-hot

まだ間違ってます。

>>●その点までの位置ベクトルと、力を成分表示し、
>>『回転の方向を考えて』式に代入するという手順を踏めばよい。
『　　』はカット！
；『位置ベクトル→力の順に』代入ですね。

たびたび、混乱させて申し訳ないです。

回答No.3

ichiro-hot

すみません。前回の記載事項で、訂正です。
●モーメントの保存則は角運動量の保存から導いて、常にかける順番が『位置ベクトル』×『力』の順番でした。順番を守って機械的に計算していけばよかったので、注意してください。（空間の中でモーメントの向きを考える場合に右ねじの方向にとるとその方向がわかることと混同していました。）まことに申し訳有りません。
　なお前回回答は偶然あってました。
　公式を覚えているわけでなく、解きながら整合性を考えていくものですから、良くこういう間違いをしてしまいます。すみません。モーメントが保存しないので、あれ？と考えててわかったしだいです。

●その点までの位置ベクトルと、力を成分表示し、
回転の方向を考えて式に代入するという手順を踏めばよい。
１）Nの場合
　棒の下の端をQとします。
　　　OQベクトル＝（Lcos60°，０，０）
　　　Nベクトル＝（O，N，０）
　　　NベクトルのO周りのモーメント＝０P×N
　　　※位置ベクトル×力の順です！！（行列に代入して計算）
　　　＝（０，０，NLcos60°）
　方向は紙面表向き（z軸プラス方向）です。
　※※
　方向は位置ベクトル→力の向きに回してください。
　ねじの進む方向が実際のモーメントの方向です。
　これは「右ねじの進行方向のとり方」が、指を使ってやるときに苦労します。方向を考えるのに慣れるためにはいいのじゃないでしょうか。
　（１）OQを棒の下端に移す。
　（２）位置ベクトルOQ→Nにまわす；人差し指の指す方向！
　　　右手でピストル型を作り、親指を外に倒すとき右回り、人差し指の方向がねじの進む向きです：『親指』をOP→Nとまわし、『人差し指』が紙面の上方向を向いていれば、指の使い方は正しいことになります。これがNのモーメントの方向です。

２）重心Gとします。
　OGベクトル＝（（１/２）・L・cos60°，（１/２）・Lsin60°，０）
　Wベクトル＝（０，－W，０）
　WベクトルのO周りのモーメント＝OG×W
　＝（０，０，－（１/２）・W・L・cos60°）
　方向は紙面裏向き（z軸マイナス方向）です

以上です。

回答No.2

ichiro-hot

●ベクトルの外積を使います。
１）基本ベクトル（x、y、z軸方向の単位ベクトル）i、ｊ、ｋ
２）基本ベクトルを用いたときの3次元空間ベクトルA、B
　　A＝（Aｘ、Ay、Az）＝Aｘ・i＋Ay・ｊ＋Az・ｋ
　　B＝（Bｘ、By、Bz）＝Bｘ・i＋By・ｊ＋Bz・ｋ
３）ベクトルA、Bを平行移動して始点をそろえ、A、Bの作る平面でA→B、B→Aのどちらでもいいので右ねじの方向にまわして回転方向を考える。（考えやすいほうをとる。）
　このとき、順序が必要。右ねじにとったときに回転の始まりにとったほうを前に、終わりのほうのベクトルを後のほうにとるようにする。
４）そのときのA、Bの外積CはA→Bが右ねじの回転のときCをねじの進む方向にとって、
C＝A×B（順序に注意；行列の上と下の順序が決まる）
※以下、行列の表示が都合がよいのですが、文字がずれるので・・・
＝
｜　i　　j　　k　｜
｜Aｘ　Ay　Az｜
｜Bｘ　Bｙ　Bｚ｜
＝
i・｜Ay　Az｜
　｜Bｙ　Bｚ｜
-ｊ・｜Aｘ　Az｜
　　｜Bｘ　Bz｜
+ｋ・｜Ax　Ay｜
　　　｜Bx　By｜
＝（Ay・Bz－By・Aｚ、Az・Bｘ－Bｚ・Ax、Aｘ・By－Bｘ・Aｙ）

ながったらしいのですが、以上が外積について必要なことです。

●Kの原点周りのモーメント
１）空間ベクトルで考えるのにｚ軸は紙面裏から表面に向いた方向（右手系）です。
２）ベクトル成分表示
○原点からKの作用点（Pとします）までのベクトル（OPベクトル）
　　　OPベクトル＝（０、Lsin６０°、０）
○Kベクトル、大きさをKとして（；ｘ軸方向に向いている）
　　　Kベクトル＝（K、０，０）
○Kベクトルを原点まで移動して、右ねじはOPからKに回す回転方向、進む方向はｚ軸方向（モーメントをベクトルと考えたときに力Kのモーメントの方向になります。）
３）外積の計算
回転の方向を考えに入れて
Kのモーメント＝OPベクトル×Kベクトル
＝
｜　i　 　　j　　　　k　｜
｜　0　 Lsin60°０ ｜
｜　 K 　 0 　　　 0 ｜
=0・i + 0・j　－ KLsin60°・ｋ　
（↑この表示が基本ベクトルで表示したことになります）
＝（0，0，－ KLsin60°）

これで、原点O周りのKのモーメントは
大きさがKLsin60°で、z軸の負の方向、紙面表から裏方向への方向を持つことがわかります。

補足

原点Ｏのまわりの力Ｗ、原点Ｏのまわりの力Ｎによる場合はどのように表示すれば良いのでしょうか？

回答No.1

yokkun831

力のモーメント＝トルクは，
τ=r×F
と定義されます。
ここにrは，軸から作用点までの位置ベクトル，Fは力で，×はベクトル積です。
基本ベクトルというのは，x方向，y方向，z方向の単位ベクトルのことだと思います。

>力Ｋによる、原点Ｏのまわりの力のモーメントを基本ベクトルで表示したい場合

x方向の単位ベクトルi，y方向の単位ベクトルj，z方向の単位ベクトルk，
Kの作用点の位置ベクトルrとすれば，
τ=r×K=j・√3/2・L×i・|K|=-k・√3|K|L/2
となると思います。