ベクトル演算子の計算を教えて下さい

質問

http://www003.upp.so-net.ne.jp/asami/DS6.pdf

上記のURLの7ページ目の真ん中辺りに
「一般式」と書かれてある式の一つ下の行の数式、

F = α(E・∇)E = α[∇|E|^2 - (E・∇)E] = 1/2 α∇|E|^2

の変換がどうなっているのかが分かりません。

なぜ、二つの項に分かれて、一つになるのかどういう計算をしているのかが分かりません。
どなたか、この計算の詳細を教えて頂けないでしょうか？

回答No.4

178-tall · ベストアンサー

>公式を使わない方法…

(E・∇)E の x 成分は、
　　Ex(∂Ex/∂x) + Ey(∂Ex/∂y) + Ez(∂Ex/∂z)　　　…(1)

∇|E|^2 の x 成分は、
　　(∂/∂x)(Ex^2 + Ey^2 + Ez^2)
　= 2Ex(∂Ex/∂x) + 2Ey(∂Ey/∂x) + 2Ez(∂Ez/∂x)
ここで ∇×E = rotE = 0 、つまり (∂Ex/∂y) = (∂Ey/∂x) などを使うと、
　　(∂/∂x)(Ex^2 + Ey^2 + Ez^2)
　= 2Ex(∂Ex/∂x) + 2Ey(∂Ex/∂y) + 2Ez(∂Ex/∂z)　　　…(2)

つまり、rotE = 0 が成立する場合、(1) は (2) の半分。
同様にして各成分を比べると、
　　rotE = 0 なら、2(E・∇)E = ∇|E|^2
を示せそう…。

回答No.3

178-tall

原題では、∇×E = rotE = 0 が成立つ模様。
　　Ex*Eyx = Ey*Exy
などが成立するので、公式にたよらずとも済むわけですけど、
公式を眺めれば、忘れてた条件を想い出せます。

お礼

ありがとうございます。

可能であれば、
公式を使わない方法も教えて頂けないでしょうか？

回答No.2

Tacosan

記号で遊ぶだけじゃなくって, まじめに成分使って計算すればできるはずだよ.

回答No.1

178-tall

∇(ナブラ) を含む分配公式、
　∇(E・E) = 2*(E・∇)
を利用している模様。
　　↓
参考 URL

参考URL：

http://www.f-denshi.com/000TokiwaJPN/20vectr/020vct.html#3-2

お礼

ありがとうございます。

(１)　∇・(A ・B )
　　　＝(B・∇)A＋(A・∇)B
　　　　　　　　　　　＋A ×(∇×B )＋B ×(∇×A )

この公式のことですよね？

でも、AとBにEを代入しても

∇・(E ・E )＝(E・∇)E＋(E・∇)＋E ×(∇×E )＋E ×(∇×E )

同じ結果にはならないのですが・・・