対数の計算

質問

Ω=(1/N!)*(V^N/h^3N)*{π(2π^2*mE)^[(3/2)N-(1/2)]}/Γ[(3/2)N+1] として

Ωの対数をとって計算していくと　　　Γ(n+1)!=n! logN!=NlogN-N を用いて

logΩ=log1-logN!+logV^N-logh^3N+[(3/2)N-(1/2)]logπ(2π^2*mE)-logΓ[(3/2)N+1]

=log1-NlogN+N+NlogV-3Nlogh+[(3/2)N-(1/2)]logπ(2π^2*mE)-logΓ[(3/2)N+1]

=・・・・・と計算していけるんですが

どうしてもlogΩ=NlogV+(3/2)Nlog(2E/3N)+・・・・・・　（・・・はVとEを含まない項)

教科書によれば最終的にはlogΩ=NlogV+(3/2)Nlog(2E/3N)+・・・・・・　（・・・はVとEを含まない項)という式なるはずで、この式をを導きたいんですが、計算でうまくいかないんです。
なかなかlogΩ=NlogV+(3/2)Nlog(2E/3N)+・・・・・・　（・・・はVとEを含まない項)に

もっていけないんで、それの計算過程を教えていただきたいです。

回答No.1

Mr_Holland · ベストアンサー

ここでのΩは、熱統計力学で、Ｎ個の質点からなる理想気体が体積Ｖに閉じ込められているときの状態数を古典的に求めたものではないですか？
　だとしたら、Ωの式が違っています。
　正しくは、次のようになると思います。

　　Ω＝(1/N!)*{V^N/h^(3N)}*(2πmE)^(3N/2)/Γ(3N/2+1)　　　・・・・☆

　あとは、この式の両辺の対数をとる際に、問題に与えられたスターリングの公式
　　Γ(x+1)＝x!
　　log(x!)≒xlog(x)-x
を使って解けば、導出できると思います。

　　logΩ≒-log(N!)+Nlog(V)-3Nlog(h)+(3N/2)log(2πmE)-(3N/2)log(3N/2)+3N/2
　　　　＝Nlog(V)+(3N/2)log(E)-(3N/2)log(3N/2)+(V,Eを含まない項)
　　　　＝Nlog(V)+(3N/2)log{2E/(3N}+(V,Eを含まない項)

　ちなみに、Ωの導出は、各質点の直交座標に共役な運動量をpi(i=1,2,・・・,3N)とすると、運動エネルギは、
　　pi^2/(2m)≦Ｅ
の条件を満足する範囲での下記の積分から求められます。

　　Ω＝V^N/{h^(3N)*N!} ∫dp1dp2・・・・dp3N

　ここで、この積分の値は、半径√(2mE)の3N次元の球の体積になっていますが、ｎ次元における単位球の体積がπ^(n/2)/Γ(n/2+1)となることを利用すると、
　　(2mE)^(3N/2)*π^(3N/2)/Γ(3N/2+1)
　＝(2πmE)^(3N/2)/Γ(3N/2+1)
となり、式☆が求められます。

お礼

とても詳しく教えていただいてありがとうございました。