二項分布の公式について

質問

あるサイトで二項分布の公式の説明がありましたが理解できません。どなたか詳しく説明していただけないでしょうか？

http://www.geisya.or.jp/~mwm48961/statistics/binomial.htm

回答No.6

alice_44 · ベストアンサー

←A No.1 補足 (横から失礼)

k が何を指しているのか …で混乱しただけじゃないかな。
確率変数 Z が a1 または a2 の値をとり、
値 ai をとる確率が pi であるとき、
E(Z) = Σ[i=1,2] ai pi = a1 p1 + a2 p2 だよね？
＞ 平均値といえば普通k=1,2・・というあたいにたいしての確立を掛け合わした総和
と言っているのは、これを E(Z) = Σ[k=1,2] ak pk
と書きたいのだろうけれど、ここでは
Xk の k と被らないように i を使ってみた。
(j でも m でも好きな文字を使ったらいい。)
＞ E(Xk) = 0・q + 1・p = p
では、Z = Xk, a1 = 0, a2 = 1, p1 = q, p2 = p
の場合の話をしているから、このような式になる。
k = 1,2,…,n のどの Xk についても、これが成り立つということ。
期待値の話に限らず、ひとつの考察の中で、同じ文字を異なる用途に
使い回したら、話が混乱するモトになるよ。

お礼

回答ありがとうございます。そうですね！おかげさまで深く理解することができました。ありがとうございました。

回答No.5

MagicianKuma

最後のほうの式が舌足らずでした、

E(X)
＝E(Y1+Y2+Y3+・・・+Yn)
＝E(Y1)+E(Y2)+E(Y3)+・・・+E(Yn)　

２行目から３行目が期待値の線形性です。

回答No.4

MagicianKuma

はい。補足ありがとう。約束ですから返事しますね。
二項分布とは何かに立ち戻ってみましょう。参照しているサイトで、
二項分布とは、１回の試行で事象Aの起こる確率がpのとき、この試行をn回行ったとき事象Aが起こる回数をXとおくとき、Xは確率変数となり P(X=k) = nCk・p^k・q^(n-k) (q=1-p)　となる。このような確率分布を二項分布とよぶ。　となってますね。
着目しているのは、n回のうち何回起こったか？です。これをXとしたわけです。Xは0からnの範囲をとる確率変数です。
なので、Xの期待値はE(X) = 0P(X=0)+1P(X=1)+2P(X=2)+・・・+nP(X=n)　で求められます。質問者さんの感覚にあうはずです。

ところで、Xkとは何でしょう？　k回目の試行で事象Aが起これば1、起きなければ0なる確率変数Xkを用いると　とあります。このサイトの表現はちょっと不注意です。上のほうでP(X=k)で何回起こったかの意味でkという記号を使っているのに、下のほうで何回目を表す記号にもkを使っていて、見る人に混乱を与えます。質問者もひょっとしてそうかもしれませんね。
ですので、Xkの代わりに、Yiを使います。意味はi回目の試行で事象Aが起こればYi=1、起きなければYi=0です。
ところで、一体何をしようとしているのでしょうか？　もともとの関心事はXです。（何回起こったか）
で、X=Y1+Y2+Y3+・・・+Yn　となることはお分かりでしょうか？　それぞれの回で起これば1、起きなければ0　足すと何回起こったかになるわけです。
で、実は、E(X)=E(Y1)+E(Y2)+E(Y3)+・・・+E(Yn)　がどんな確率分布でも成り立つことが分かっているのです。期待値の線形性といいます。
で、E(Yi)ですが、Yi=0か1です。期待値は0*(0の起こる確率)+1*(1の起こる確率）　です。計算するとE(Yi)=p
で、2番目であろうが、8番目であろうが同じです。　なので、E(X)=np　となって、上の計算より簡単だよ。と言っているのです。

お礼

度々回答ありがとうございます。なるほど！大変分かりやすかったです。回答ありがとうございました。

回答No.3

goldmine_1984

僭越ながら、とりあえず、不明点が明確なNo.1さんの補足について回答しますね。

＞まず、第k回で事象Ａが起これば1，起こらなければ0となる確率変数Xkを用いると　
E(Xk) = 0・q + 1・ p = p （ k = 1,2,…,n ）　　　とありますが

平均値といえば普通k=1,2・・というあたいにたいしての確立を掛け合わした総和なのになぜこのような式になるのか分かりません。

端的に言えば、この説明の中ではkが1だろうが2だろうが3だろうがnだろうが、確率変数Xのとりうる値は0か1のどちらかの値だから。が質問の答えとなります。
『第k回で事象Ａが起これば1，起こらなければ0となる確率変数Xkを用いる』と明記してありますから。

分からなくなってしまった原因として考えられるのは…
１．確率変数の値とkの値は同じ値だという思い込み
２．E(X)とE(Xk)の違いに対する理解
といったところでしょうか。

gagagakyさんのおっしゃっている『平均値といえば普通k=1,2・・というあたいにたいしての確立を掛け合わした総和』というのは、問題集に載っている例題などでは多くの場合そう言ってあまり支障はありませんが、本来の定義とは異なります。
問題集に載ってる問題は「たまたま」kの値とXkの値が合致しているにすぎません。

平均値(期待値)＝｛確率変数の値×その確率変数の出現する確率｝の総和

が根底にあります。
上式からも分かるように、確率に掛け合わせるのはkではなく、確率変数の値です。
サイコロの目の期待値ならば確率変数の値は1～6、数列の項の値ならばa1，a2...といったように、必ずしも確率変数の値がkと一致するわけではありません。

また、E(Xk)は確率変数Xkのときのみを考えたもの。つまり、｛Xkの値×その値が出る確率｝をXkの値のバリエーション分だけ足し合わせたものとなります。
今回の場合は、確率変数のとりうる値は0と1なので

E(Xk)は0(←確率変数がとる値その1)×{Xkが0となるときの確率}と1(←確率変数がとる値その2)×{Xkが1となるときの確率}の2つを足し合わせたものとなります。

具体的な問題を多く解いていると、なかなか言葉の定義や公式、定理の意味する本質を忘れがちになってしまいますが、式の表す意味を押さえておくことで、応用の幅が広がると思います。
できるだけ本質をとらえてこれからも頑張ってください。

お礼

回答ありがとうございます。そうですね、もう一度しっかり研究して本質をとらえるようがんばります。

回答No.2

ennalyt

本屋いって、高校生用の参考書を全部眺めてみて、
一番しっくりくるのを買ってきて、
何度も読み返してみたらいい。

回答No.1

MagicianKuma

理解できません。だけでお手伝いするのは難しいねぇ。
具体的に一歩一歩進めてみませんか？　理解できないことをできるだけ具体的に書いてみませんか？
例えば、
この言葉の意味が分からない。
この計算が分からない。
どうしてこの式になるのか分からない。　
この部分は何をしようとしているのか分からない。　　等々
あと、ここまでは分かるのだけれど　などあると返事しやすいですね。

補足

回答ありがとうございます。説明不足ですみません。まず、第k回で事象Ａが起これば1，起こらなければ0となる確率変数Xkを用いると　
E(Xk) = 0・q + 1・ p = p （ k = 1,2,…,n ）　　　とありますが

平均値といえば普通k=1,2・・というあたいにたいしての確立を掛け合わした総和なのになぜこのような式になるのか分かりません。