負の二項分布の導出の計算過程

質問

負の二項分布を導出しています。

以下のリンクをご覧ください：
https://shoichimidorikawa.github.io/Lec/ProbDistr/negativeBN.pdf

「この分布が負の二項分布と言われる所以は以下の通りである。まず、二項係数は…」に続く式の
【(r+x-1)(r+x-2)...(r+1)r】/x!
= (-1)^x * 【(-r)(-r-1) ... {-r-(x-2)}{-r-(x-1)}】/x!
の計算過程が分かりません。
10個ぐらいのサイトを見ましたが、
これ以上分解して書かれているサイトはありませんでした。

(-1)^xは、
xが奇数なら-1
xが偶数なら+1
になることは分かります。
それ以外はまったく見当もつきません。
どんなトリックを使ったのか教えて下さい。お願いします。

回答No.1

上野 尚人（@uenotakato） · ベストアンサー

左辺の【】の中の
(r+x-1)(r+x-2)...(r+1)r
この「連続するx個の整数の積」を一つずつに分けて、さらに逆からみていくと
r = (-r) * (-1)
r+1 = (-r-1) * (-1)
…
r+x-2 = (-r-x+2) * (-1) = { -r - (x-2) } * (-1)
r+x-1 = (-r-x+1) * (-1) = { -r - (x-1) } * (-1)
とそれぞれ変形できます。
この積を考えると、等式の右辺の
(-1)^x * 【】 の部分 に等しくなります。

お礼

ベストアンサーを差し上げます。

非常に分かりやすかったです。

>「逆からみていくと」

この一言が鍵でした。
すべてのサイトでこのように逆順で書いてありましたが、もし順番通りに書いてあったら、さすがの私でも理解できたと思います。
ありがとうございました！

回答No.2

gamma1854

式変形については、分子のｘ個の因数個々から (-1) を出しただけです。

お礼

おそらく、その回答では私は理解できていなかったと思います。
問題の鍵は逆順でした。

ご回答ありがとうございました。