点の分布導出における式の変形に関して

質問

球上、球内での点の分布について調べており、
以下の参考になるサイトを見つけました。

http://mathworld.wolfram.com/DiskPointPicking.html
http://mathworld.wolfram.com/SpherePointPicking.html#eqn2

理屈はなんとなくわかったのですが、
導出過程での数式部分の変形に躓いてしまい、
納得出来ません。
高校数学の範囲かと思いますが、ウェブで検索してもあまりよいサイトが見つからなかったので、どなたか以下について解説をいただければと思います。

http://mathworld.wolfram.com/SpherePointPicking.html#eqn2
の解説、特に(5)と(6),(7),(8)の導出

http://mathworld.wolfram.com/DiskPointPicking.html
の(4),(5)式の導出

よろしくお願いします。

回答No.4

stomachman

ANo.3の図を貼り損なったのでやりなおし。

回答No.3

stomachman

ANo.1のコメントについてです。

> まだ納得することが出来ないといった感じです…

　図が添付できるというんで、やってみることにします。

　上図は縦軸r（0≦r≦1)、横軸θ(0≦θ＜2π)。縦軸rを4つ、横軸θを8つに区切って、32個の長方形の領域に分けてあります。
　(r,θ）を一様にサンプリングすれば、どの長方形にもほぼ同じ個数のサンプルが入ることになるでしょう。例えば、どの長方形にも100個ずつのサンプルが入っていると考えてみます。

　下図左は、上図を直交座標
x = r cosθ
y = r sinθ
に変換したもの。
　上図との対応関係を理解しやすいように、丸印を二つ置いてみました。上図の青の丸印は下図左の青の丸印の所に写り、緑の丸印も同様です。
　さて、上図の赤と黄色の領域は、それぞれ下図左の赤と黄色の領域に写ります。上図では赤と黄色の領域は同じ面積だったけれども、下図左では面積が異なる。そして、赤の領域中に100個のサンプルがあり、黄色の領域中にも100個のサンプルがあるのだから、上図では赤の領域も黄色の領域もサンプルの密度は同じ。けれども、下図左では赤の領域と黄色の領域とでサンプルの密度が異なる。中心Oに近いほど密度が高くなります。

> Q = rdrdθはなぜでしょうか?

　上図で、赤の領域の中に桃色の小さい長方形が描いてありますが、これが頂点(r,θ), (r+dr, θ), (r, θ+dθ), (r+dr, θ+dθ)を持つ長方形です。その面積をPとすると、drとdθの掛け算で
P = drdθ
です。また、黄色の領域の中にも薄青の小さい長方形が描いてありますが、これも頂点(r,θ), (r+dr, θ), (r, θ+dθ), (r+dr, θ+dθ)を持つ長方形で、ただし桃色の方とはｒとθの値が違う。drとdθは同じです。で、薄青の面積もP=drdθです。rとθが幾らであろうと、drとdθが同じなら面積は同じ。当たり前ですね。

　これらが下図左ではどこに写るかを桃色と薄青で示しました。一見して分かるとおり両者は明らかに面積が異なります。そこで桃色の方の面積をQとします。
　下図右は桃色の「ほぼ長方形」の拡大図です。薄緑で示した部分は細長いけれども扇形です。その孤の長さは、半径rと扇形の角の大きさdθの積ですから、rdθ。従って、桃色の領域の面積Qはdrとrdθの掛け算で
Q = rdrdθ
です。（「ほぼ長方形」はdrとdθがうんと小さい極限ではまさしく長方形なので。）
　結局、「(r,θ), (r+dr, θ), (r, θ+dθ), (r+dr, θ+dθ)の長方形がxy座標の空間に写ると、写ったもの（ほぼ長方形）の面積は（θが幾らであろうと同じだけれど、）rに比例して変わる」ということがこの式に現れています。話を遡ってみれば、扇形の孤の長さが半径rに比例しているのがその理由だと分かるでしょう。

　こちら↓もご参考に。
http://oshiete1.goo.ne.jp/qa3779162.html

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回答No.2

noname#227064

No.1の方とは違う方法で説明してみます。

半径1の円において一様にランダムな点を得たい場合、中心からdの範囲内に点が入る確率が、
(πd^2)/(π*1^2) = d^2
にならないといけません。
しかし、(1),(2)の場合ですと、半径1の円において中心からdまでの範囲内に点が入る確率は、rがd以下になる確率即ちdとなり、d^2と一致しません。

さて、一様にランダムな点を得るために、rについての関数f(r)を用いて、
x = f(r)cosθ
y = f(r)sinθ
とすることにより点を得ることを考えます。
ただし、f(0)=0, f(1)=1で、a<bのときf(a)<f(b)とします。
この場合ですと、中心からdまでの範囲に点が入る確率は、
Pr(x^2+y^2<=d^2) = Pr(f(r)^2<=d^2) = Pr(f(r)<=d) = Pr(r<=f^(-1)(d)) = f^(-1)(d) = d^2
（f^(-1)はfの逆関数）
すなわち、
d = f(d^2)
とならなければいけないので、
f(r) = √r
となることがわかります。
√rはf(0)=0, f(1)=1で、a<bのときf(a)<f(b)という条件をみたしています。
したがって、求める変換は
x = (√r)cosθ
y = (√r)sinθ
となります。

No.1の方へのお礼欄に書かれた
> Q = rdrdθはなぜでしょうか?
は、xy平面上で(0, r), (0, r+dr), (rcos(dθ), rsin(dθ)), ((r+dr)cos(dθ), (r+dr)sin(dθ))の4点からなる扇形（？）の面積は近似的にdrと内側の円弧の長さrdθからなる長方形の面積で求められることからわかります。

回答No.1

stomachman

円盤の話から行きましょう。極座標(r,θ）を一様にサンプリングしたものを、もし、縦軸r、横軸θの散布図に描いたら、もちろん一様に分布しているでしょ。で、これを直交座標
x = r cosθ
y = r sinθ
に変換したら、図のように一様でなくなってしまう。当たり前ですよね。

　まず(r,θ), (r+dr, θ), (r, θ+dθ), (r+dr, θ+dθ)という長方形を考え、その「縦軸r、横軸θの散布図の世界での面積」をPとします。もちろん
P=drdθ
であって、Pはr,θに依らない。
　これを直交座標に変換したとき、dｒとdθをうんと小さい量だとすると、「ほぼ長方形」に写る。その面積をQとします。すると
Q=rdrdθ
になって、r (=√(x^2+y^2) )に比例して面積Qが変わる。
なので、直交座標に変換したときに一様に（同じ面積の中に同じ個数の）サンプル点が入るようにしたければ、極座標ではあらかじめサンプルの密度がrに比例するようにしておけば良い。
　まとめると、極座標の各点(r,θ)について、長方形(r,θ), (r+dr, θ), (r, θ+dθ), (r+dr, θ+dθ)（面積P)が座標変換で写った先の小さい長方形の面積をQとするとき、(r,θ）におけるサンプル点の平均密度がQ/Pに比例するようにしてやれば良い。

　単位球面の話も同じ事で、球面上の小さい長方形の面積Qあたり一定の個数のサンプル点を入れたければ、元の座標系の各点における小さい長方形の面積Pを考えて、Q/Pに比例する密度でサンプル点を選べばよい。

　一般に、ある座標系から別の座標系へと連続な座標変換で写した微小な長方形の面積がどう変換されるか、というのは積分における変数変換（置換積分）の扱い方そのものであって、（二次元だから２変数、つまり二重積分になるわけですが、）これは「ヤコビアン(Jacobian)行列」を使って表すことができます。円盤の場合なら、
dx dy = r dr dθ
と書けて、右辺の最初のrの部分は、ヤコビアン行列
dx/dr dx/dθ
dy/dr dy/dθ
の行列式から得られます。単位球面の話も同様。

お礼

返信遅くなって申し訳ありません。
丁寧な回答ありがとうございます。

>　円盤の話から行きましょう。極座標(r,θ）を一様にサンプリングしたものを、もし、縦軸r、横軸θの散布図に描いたら、もちろん一様に分布しているでしょ。で、これを直交座標
>x = r cosθ
>y = r sinθ
>に変換したら、図のように一様でなくなってしまう。当たり前ですよね。

感覚的にはわかりますが、恥ずかしながら数学をだいぶ忘れてしまったため、まだ納得することが出来ないといった感じです…

また、P = drdθは納得出来ますが
Q = rdrdθはなぜでしょうか?

この辺りの数式の導出で苦戦しておりますので、
数式も含めたもう少し平易な解説をしていただけるとうれしいです。

ですが、詳しい解説でとても参考になりました。
ありがとうございました。