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二項分布の平均
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- Ishiwara
- ベストアンサー率24% (462/1914)
> 通常の平均の求め方とは違うのでしょうか? まったく同じです。 サイコロを60回振って1の目が何回出るかを「ここでの統計量」としましょう。常識的には平均10回ですが、これはnpの値です。 この値を実験的に求めるために60回の試行を100万回やって平均を出すと、 ((60回中の1の目の数)+(60回中の1の目の数)+(60回中の1の目の数)+.....)÷1,000,000 です。 この式が、あなたのいう「通常の平均の求め方」であって、値はnpと(ほぼ)同じになります。n は 60 のことであって 1,000,000 のことではないので、混同しないように。 なお、注意しておきたいのは「平均値」という語は次のように使われます。この中のどれであるか自明であれば、断りなく使われます。 (1) 有限回試行したときの平均値 (2) 無限回試行したときの平均値 (3) 母集団の平均値 (4) 1回試行するときの期待値((2)~(4)は、値としては同じです)
- zk43
- ベストアンサー率53% (253/470)
平均を求めるとき、(1+2+3)÷3と求めるような時は、1,2,3がどれも 等確率1/3で起こるという前提のもとに計算するときです。 これは、1,2,3に確率1/3という重みを付けて、 1×(1/3)+2×(1/3)+3×(1/3) という計算をしていることになります。 しかし、1の起こる確率が1/4、2の起こる確率が1/4、3の起こる確率が 1/2のような場合には、平均は、 1×(1/4)+2×(1/4)+3×(1/2) のように計算されます。 これは、イメージ的には、1,2,3が起こるという実験を数多くn回行うと き、平均的に、1はn×(1/4)回、2はn×(1/4)回、3はn×(1/2)回起こる と考えられるので、出る数の総合計は、 1×n×(1/4)+2×n×(1/4)+3×n×(1/2) よって、これを回数nで割って、1回あたり、 1×(1/4)+2×(1/4)+3×(1/2) であると考えられます。 このように考えると、一般的に、1回の実験でa1,a2,…,anが起こり得 るとし、それぞれの確率がpi(i=1,2,…,n p1+…+pn=1)とすると、 平均は、a1×p1+…+an×pnと計算されます。 二項分布の場合は、1回の実験で0,1,2,…,nが起こり得、k(k=0,1,2, …,n)が起こる確率がnCk×p^k×q^(n-k)なので、平均は、 Σ(0≦k≦n)nCk×p^k×q^(n-k)×kを計算すればよいことになります。 (ここに、q=1-p) 後は技術的なことだけですが、(x+y)^nの2項展開において、xで微分 し、そして両辺にxを掛けた式を作って置き、x=p,y=qと代入すれば 目的の平均が分かります。
- Mr_Holland
- ベストアンサー率56% (890/1576)
二項分布の期待値の計算も、「通常の平均」と同じように、確率とその値の積を足し合わせて求めています。 (「通常の平均」とは、たとえば、サイコロの出た目の期待値の計算で、 (1/6)*1+(1/6)*2+(1/6)*3+(1/6)*4+(1/6)*5+(1/6)*6 =(1/6)*21 =7/2 として求めることを言われていますよね。) 二項分布でも、計算が複雑になるので Σ を使って表しますが、基本的な期待値の求め方は同じです。 二項分布の確率は、nCk・p^k・(1-p)^(n-k) ですから、これにその値kを掛けて、0≦k≦nの範囲で足し合わせれば、期待値が求まります。 以下に、その計算過程を記しますので、参考にしてください。 [k=0→n]ΣnCk・p^k・(1-p)^(n-k)×k =[k=1→n]Σ n!/{k!(n-k)!}・p^k・(1-p)^(n-k)×k (Σの中身はk=0のとき0なので、範囲を1≦k≦nに変更。) =np×[k=1→n]Σ (n-1)!/{(k-1)!((n-1)-(k-1))!}・p^(k-1)・(1-p)^{(n-1)-(k-1)} =np×[j=0→n-1]Σ (n-1)!/{j!((n-1)-j)!}・p^j・(1-p)^{(n-1)-j} (k-1=j と置換。) =np×[j=0→n-1]Σ (n-1)Cj・p^j・(1-p)^{(n-1)-j} =np×{p+(1-p)}^(n-1) =np×1 =np
- popesyu
- ベストアンサー率36% (1782/4883)
二項分布の話なんですよね?? その場合npは平均ではなく、いわゆる期待値を求める計算式ですよ。 例えばコインを20回投げて表の出る確率(期待値)を出す場合、 p=1/2、n=20 ですから10が答えとなります。
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