二項分布、ポアソン分布、正規分布の問題

質問

明日は確率のテストです。普段授業を聞いてないので勉強していて簡単な問題で躓いてしまいました。簡単だとは思いますが教えてください。

(1)不良品１０％の製品の山から製品４個をでたらめにとる時この中に含まれる不良品の個数を確率変数Ｘにとる
(a)P(X=2)を求めよ
(b)P（X>=2)を求めよ

(2)ある製品では１％が不良品である。不良品を少なくとも１つ含む確率が９５%を越すためには、少なくとも何個の製品を無作為抽出しなければならないか？

(3)確率変数Ｘが２項分布Ｂ（１０００，１／２）に従う時、確率Ｐ（Ｘ＞＝４００）の近似値を求めよ。

できればどういう公式を使って解いているのかも教えてくれたら幸いです。ずうずうしいとは思いますがヨロシクお願いします。

回答No.7

Rossana · ベストアンサー

お～おめでとうございます！！
全部できましたか？
もう今日ですが，テスト頑張って下さい！！

回答No.6

Rossana

N→∞としたことによりgod_god_godさんの取り出した4個のものの中の一つ一つの製品を確率的に扱う考え方ができると言う事かな．
たぶん，結論として
二項分布の式
nCx * p^x * (1-p)^(n-x)
を扱ってもよいためには製品の山は十分多いと考える前提が必要のようですね．

回答No.5

Rossana

N→∞とすればgod_god_godさんの回答と一致しました．
この原因を考えてみるのは面白そうですね．

お礼

本当ありがとうございます！正直あの式は僕には難しくてよく分からなかったんですが、問題を解くヒントになり助かりました！あと、もう少し自分で解いて明日の試験に臨みます。

回答No.4

Rossana

#1について
回答には関係ないのですが
B(n,p) = nCx * p^x * (1-p)^(n-x)
と結ぶのはよくないと思います．
B(n,p)は分布を表しているだけで式ではないので．

計算はそちらのが簡単でいいと思います．
＞(a)P(X=2)={(N/10)C2×(9N/10)C2}/NC4
＞を計算すればいいですね．
こちらでも出ると思うのですが，今実際やってみるとNが消えません．ちょっと考え中です．

回答No.3

Rossana

(3)B(n, p)においてn≫0，p=一定，確率変数の実現値x≫0とすれば正規分布に近づくので近似値っていうのはこれを使うのかなぁ．標準正規分布表があればそれをみればいいと思います．μ=np=500，σ^2=np(1-p)=250．
z=(x-μ)/σと標準化して，
z≧(400-500)/(5√10)
の確率をみればいいんじゃないですか？

お礼

ありがとうございます！(3)は自己解決しましたー

回答No.2

Rossana

(2)ある製品の個数n，不良品の個数n/100，x個の商品を無作為抽出するとして，不良品の個数を確率変数Yにとると，
P(Y>=1)=1-P(Y=0)=1-(99n/100)Cx/nCx
これが95%を越すので
P(Y>=1)>95/100
これを解いてxが出てこないかなぁ．

お礼

２番できました。ヒントが役に立ちました。

回答No.1

Rossana

(1)
製品の山＝全個数＝Nとします．そうすると不良品10%なので，
不良品の全個数＝N/10
(a)P(X=2)={(N/10)C2×(9N/10)C2}/NC4
を計算すればいいですね．
(b)P(X>=2)=1-P(X<=1)を計算すればいいと思います．
とりあえず(1)のヒントです．

お礼

早速ありがとうございます。一応回答が来る前に自分で解いてみたんですが、こんな考え方で正しいでしょうか？製品４個をでたらめにとった時、その中に含まれる不良品の個数をＸとするのでこうですかね？？

B(n,p) = nCx * p^x * (1-p)^n-x の式より
全個数をn、不良品の確率pは問題文よりp=0.1。
よってP(X=2) = 4C2 * (1/10)^2 * (9/10)^2
= 243/5000　となりました。