数学の問題です。

質問

統計学のことで質問があります。自分でやってみたのですが、答えまで、たどりつかなくて、困っています。どうか解答、解説をよろしくお願いします。

問題:確率変数Xが2項分布Bn(12,0.4)に従うとき、確率P(3<X<=6)を計算せよ。また、この確率を2項分布の正規近似を用いて計算し、正確な確率と比較せよ。
教科書の解答:正確な2項分布の確率P(3<X<=6)=0.616は正規分布の確率P(3.5<Y<=6.5)=0.620で近似される。ただし、上限と下限は半整数補正を行っている。

回答No.1

yyssaa · ベストアンサー

問題:確率変数Xが2項分布Bn(12,0.4)に従うとき、確率P(3<X<=6)を計算せよ。
＞P(12,k)=(12Ck)*0.4^k*0.6^(12-k)だから
P(3<X<=6)=∑(k=4→6)(12Ck)*0.4^k*0.6^(12-k)
=(12C4)*0.4^4*0.6^8+(12C5)*0.4^5*0.6^7
+(12C6)*0.4^6*0.6^6
=495*0.4^4*0.6^8+792*0.4^5*0.6^7+924*0.4^6*0.6^6
≒0.6165
また、この確率を2項分布の正規近似を用いて計算し、正確な確率と比較せよ。
＞nが十分大きいとき，二項分布B(n,p)は、
正規分布N(np,npq)で近似出来るので、
Bn(12,0.4)はN(μ=4.8,σ^2=2.88)で近似出来ることになる。
そしてP(3<X<=6)は半整数補正(備考)により、
N(μ=4.8,σ^2=2.88)のP(3.5<X<=6.5)となる。
N(μ=4.8,σ^2=2.88)のP(3.5<X)は標準正規分布N(0,1)では
P((3.5-4.8)/√2.88≒-0.77<X)になる(これをP1とする)。
同じくN(μ=4.8,σ^2=2.88)のP(6.5<X)は標準正規分布N(0,1)
ではP((6.5-4.8)/√2.88≒1.00<X)になり、これをP2とすると
求める確率はP1-P2となる。標準正規分布によりP(0.77＜X)
は0.2206なのでP1=0.5-0.2206+0.5=0.7794。
同じくP(1.00＜X)は0.1587なのでP2=0.1587。
よって、求める確率はP1-P2=0.7794-0.1587=0.6207となる。
（備考）半整数補正
http://upo-net.ouj.ac.jp/tokei/xml/kw1_01111.xml
より抜粋。
「確率変数Xがとる値x1,x2,・・・・・が整数のとき，a＜bをみたす
任意の整数a,bに対してa≦X≦bである確率P(a≦X≦b)は
P(a-0.5≦X≦b+0.5)にあたる．
確率を連続な分布の確率で近似するとき，この後者の範囲を
利用すると近似の精度は通常よくなる．これを半整数補正という」
（参考）
http://www.kwansei.ac.jp/hs/z90010/sugakuc/toukei/norbin/norbin.htm

お礼

丁寧な解説をありがとうございます。