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重心
△ABCの内部に点Dがある △DAB,△DBC,△DCAの重心をそれぞれP,Q,Rとする △ABCの面積が18のとき△PQRの面積を求めよ △DABの重心=(AB+AD+DB)/3 △DBCの重心=(DB+DC+BC)/3 △DCAの重心=(AD+DC+AC)/3 ぐらいしか分からないので出来れば解き方を教えてください 答えは△PQRの面積=2です
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辺AB,BC,CAの各中点をS,T,Uとします。 SU//BC かつ AS:AB=1:2 ですから △ASUの面積:△ABCの面積=1:2^2 ∴ △ASUの面積=18・(1/4)=9/2 同様に △BSTの面積=△CUTの面積=9/2 つまり、△STUの面積=18-3(9/2)=9/2 △DPRと、△DSUとを比較すると P,Q,Rがそれぞれ△DAB,△DBC,△DCAの重心なので DP:DS=2:3 DR:DU=2:3 ですから PR//SU であることがわかります。 つまり、△DPR∽△DSU であることがわかります。 このことから △DPRの面積:△DSUの面積=2^2:3^2=4:9 ∴△DPRの面積=(4/9)・△DSUの面積 同様に △DPQの面積=(4/9)・△DSTの面積 △DQRの面積=(4/9)・△DTUの面積 △DSUの面積+△DSTの面積+△DTUの面積 は、△STUの面積です。 総合すると、 求める面積 =△DPRの面積+△DPQの面積+△DQRの面積 =(4/9)・△STUの面積 =(4/9)・(9/2)=2
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- ferien
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ANo.6です。少し訂正します。ベクトルの始点のことを考えると、 >△PQRで、その面積をS1とする。(2)を使うと、 >S1=(1/2)√{|QR|^2|QP|^2-(QR,QP)^2} >上のベクトルを代入して、 >S1=(1/2)√{|(-1/3)(b-a)|^2|(-1/3)(c-a)|^2 > -((-1/3)(b-a),(-1/3)(c-a))^2} の方がいいと思いました。以下は同じです。
お礼
分かりました ありがとうございました
- ferien
- ベストアンサー率64% (697/1085)
>△ABCの内部に点Dがある >△DAB,△DBC,△DCAの重心をそれぞれP,Q,Rとする >△ABCの面積が18のとき△PQRの面積を求めよ AB,BC,CAの中点をS,T,Uとする。 ベクトルDA=a,ベクトルDB=b,ベクトルDC=cとします。 ベクトルDS=(1/2)(DA+DB)=(1/2)(a+b) ベクトルDT=(1/2)(DB+DC)=(1/2)(b+c) ベクトルDU=(1/2)(DC+DA)=(1/2)(c+a) P,Q,Rは重心だから、 DP:PS=DQ:QT=DR:RU=2:1より、 ベクトルDP=(2/3)DS=(2/3)(1/2)(a+b)=(1/3)(a+b) ベクトルDQ=(2/3)DT=(2/3)(1/2)(b+c)=(1/3)(b+c) ベクトルDR=(2/3)DU=(2/3)(1/2)(c+a)=(1/3)(c+a) ベクトルPQ=DQ-DP=(1/3)(c-a) ベクトルRQ=DQ-DR=(1/3)(b-a) ベクトルAB=DB-DA=b-a ベクトルAC=DC-DA=c-a △ABCで、ABとACのなす角をXとすると、三角形の面積の公式より、 S=(1/2)|AB||AC|sinX ……(1) cosX=(AB,AC)/|AB||AC|より、 sin^2X=1-cos^2X =1-{(AB,AC)/|AB|AC|}^2 ={|AB|^2|AC|^2-(AB,AC)^2}/|AB|^2|AC|^2より sinX=√{|AB|^2|AC|^2-(AB,AC)^2}/|AB||AC| これを(1)へ代入して、分母が約分できるから、 S=(1/2)√{|AB|^2|AC|^2-(AB,AC)^2}……(2) これに、上のベクトルを代入して、 S=(1/2)√{|b-a|^2|c-a|^2-(b-a,c-a)^2}=18 ……(3) △PQRで、その面積をS1とする。(2)を使うと、 S1=(1/2)√{|RQ|^2|PQ|^2-(RQ,PQ)^2} 上のベクトルを代入して、 S1=(1/2)√{|(1/3)(b-a)|^2|(1/3)(c-a)|^2 -((1/3)(b-a),(1/3)(c-a))^2} =(1/2))√[(1/9)^2|b-a|^2・(1/9)^2|c-a|^2-{(1/9)(b-a,c-a)}^2] =(1/9)(1/2)√{|b-a|^2|c-a|^2-(b-a,c-a)^2} (3)より、 =(1/9)×18 =2 になりました。△ABCと点D,重心P,Q,Rを描いて確認してみて下さい。 ((2)は、ベクトルを使った三角形の面積の公式です。)
お礼
ベクトルのやり方ですね ありがとうございます
- Quarks
- ベストアンサー率78% (248/317)
>DP:DS=2:3 >DR:DU=2:3 >ですから >PR//SU >であることがわかります。 2つの三角形△DPR,△DSUで ◎ 頂角∠D(∠PDRと∠SDUです)が共通 ◎ 2組の辺の比が等しい これより、2つの三角形は相似であることがわかります。 ∴ ∠DPR=∠DSU 2つの線分 SUとPRが、線分DPSとなす角は 同位角に当たるので、それが等しいということは PR//SU ということです。 図を描いて、それを見て確認して下さい。
お礼
なるほど 分かりました ありがとうございました
- Quarks
- ベストアンサー率78% (248/317)
ANo.1です。 >△ASUの面積:△ABCの面積=1:2^2 >△DPR∽△DSU >△DPRの面積:△DSUの面積=2^2:3^2=4:9 >は上が相似比1:2、下がDR:DU=2:3より相似比2:3だから二乗したんですよね? はい、そのとおりです。 >△DPQの面積=(4/9)・△DSTの面積 >△DQRの面積=(4/9)・△DTUの面積 >は、△ASU=△BST=△DPRと△DPR=△DPQ=△DQRが成り立たないと成り立たないと思うのですがなぜ >同じと分かるのでしょうか? >△ASU=△BST=△DPR (△DPRではなく、△CUTですね) 等号は、面積が等しいという意味でしょうか? そうなら、この等式は成立します。 相似形の面積比から、 △ASU,△BST,△CUTは、どれも、△ABCの面積の1/4の面積を持ちますから、同じ面積です。 (なお、面積が同じでも、それぞれの三角形が合同だということを意味しませんから、念のため申し添えます。) そして、残りの△STUもまた、18-(9/2)・3=9/2 ということがわかります。 >△DPR=△DPQ=△DQR こちらは、一般的には成り立ちません。成り立ちませんが、証明の障害にはならないのです。 △DPQの面積:△DSTの面積=2^2:3^2=4:9 ∴△DPQの面積=(4/9)・△DSTの面積 同様に、△DQRと△DTU も相似ですから △DQRの面積=(4/9)・△DTUの面積 更に同様に △DPRの面積=(4/9)・△DSUの面積 辺々を加えてみると △DPQの面積+△DQRの面積+△DPRの面積 =(4/9)・{△DSTの面積+△DTUの面積+△DSUの面積} が成り立つことがわかります。 ところで、 △DPQの面積+△DQRの面積+△DPRの面積=△PQRの面積 △DSTの面積+△DTUの面積+△DSUの面積=△STUの面積 ですから △PQRの面積=(4/9)・△STUの面積=(4/9)・(9/2)=2 このように、3つの三角形の個々の面積が一致している必要はありません。
お礼
>はい、そのとおりです。 分かりました >等号は、面積が等しいという意味でしょうか? その通りです >△DPQの面積:△DSTの面積=2^2:3^2=4:9 ∴△DPQの面積=(4/9)・△DSTの面積 同様に、△DQRと△DTU も相似ですから △DQRの面積=(4/9)・△DTUの面積 更に同様に △DPRの面積=(4/9)・△DSUの面積 これらは拡大版の△DST,△DTU,△DSUと△DPQ,△DQR,△DPRの比が同じなだけで面積が等しいかは分からないが△PQRの面積は出せるということですね よく分かりました ありがとうございました
補足
>DP:DS=2:3 >DR:DU=2:3 >ですから >PR//SU >であることがわかります。 申し訳ないのですが基本が抜けていて、この部分が分かりません 教えてください
- kacchann
- ベストアンサー率58% (347/594)
ベクトルを使って ふつうに、 それぞれの三角形(PQRとABC)の面積の値を求める方法なら 発想力いらないので その方法もマスターすべし。 次の公式のやつね。 S=(1/2)×|a||b|sinθ --- ちなみに角A=角Qかな。 これはベクトル図書いてみて よく考えてみて。
補足
三角形の角が何度か一つも分からないからsinθは使えないのではないですか? また、角A=角Qの角Qとはどこの角Qでしょうか?∠BQCや∠AQCや∠DQRなどがあって分からないのです
- LHS07
- ベストアンサー率22% (510/2221)
定規で三角形を正確に描いていって、補助線を書き入れることです。
補足
どこにでしょうか?
補足
SU//BC かつ AS:AB=1:2 ですから △ASUの面積:△ABCの面積=1:2^2 と △DPR∽△DSU であることがわかります。 このことから △DPRの面積:△DSUの面積=2^2:3^2=4:9 は上が相似比1:2、下がDR:DU=2:3より相似比2:3だから二乗したんですよね? △ASUの面積=18・(1/4)=9/2 同様に △BSTの面積=△CUTの面積=9/2 と △DPRの面積=(4/9)・△DSUの面積 同様に △DPQの面積=(4/9)・△DSTの面積 △DQRの面積=(4/9)・△DTUの面積 は、△ASU=△BST=△DPRと△DPR=△DPQ=△DQRが成り立たないと成り立たないと思うのですがなぜ同じと分かるのでしょうか?