>△ABCの内部に点Dがある
>△DAB,△DBC,△DCAの重心をそれぞれP,Q,Rとする
>△ABCの面積が18のとき△PQRの面積を求めよ
AB,BC,CAの中点をS,T,Uとする。
ベクトルDA=a,ベクトルDB=b,ベクトルDC=cとします。
ベクトルDS=(1/2)(DA+DB)=(1/2)(a+b)
ベクトルDT=(1/2)(DB+DC)=(1/2)(b+c)
ベクトルDU=(1/2)(DC+DA)=(1/2)(c+a)
P,Q,Rは重心だから、
DP:PS=DQ:QT=DR:RU=2:1より、
ベクトルDP=(2/3)DS=(2/3)(1/2)(a+b)=(1/3)(a+b)
ベクトルDQ=(2/3)DT=(2/3)(1/2)(b+c)=(1/3)(b+c)
ベクトルDR=(2/3)DU=(2/3)(1/2)(c+a)=(1/3)(c+a)
ベクトルPQ=DQ-DP=(1/3)(c-a)
ベクトルRQ=DQ-DR=(1/3)(b-a)
ベクトルAB=DB-DA=b-a
ベクトルAC=DC-DA=c-a
△ABCで、ABとACのなす角をXとすると、三角形の面積の公式より、
S=(1/2)|AB||AC|sinX ……(1)
cosX=(AB,AC)/|AB||AC|より、
sin^2X=1-cos^2X
=1-{(AB,AC)/|AB|AC|}^2
={|AB|^2|AC|^2-(AB,AC)^2}/|AB|^2|AC|^2より
sinX=√{|AB|^2|AC|^2-(AB,AC)^2}/|AB||AC|
これを(1)へ代入して、分母が約分できるから、
S=(1/2)√{|AB|^2|AC|^2-(AB,AC)^2}……(2)
これに、上のベクトルを代入して、
S=(1/2)√{|b-a|^2|c-a|^2-(b-a,c-a)^2}=18 ……(3)
△PQRで、その面積をS1とする。(2)を使うと、
S1=(1/2)√{|RQ|^2|PQ|^2-(RQ,PQ)^2}
上のベクトルを代入して、
S1=(1/2)√{|(1/3)(b-a)|^2|(1/3)(c-a)|^2
-((1/3)(b-a),(1/3)(c-a))^2}
=(1/2))√[(1/9)^2|b-a|^2・(1/9)^2|c-a|^2-{(1/9)(b-a,c-a)}^2]
=(1/9)(1/2)√{|b-a|^2|c-a|^2-(b-a,c-a)^2} (3)より、
=(1/9)×18
=2
になりました。△ABCと点D,重心P,Q,Rを描いて確認してみて下さい。
((2)は、ベクトルを使った三角形の面積の公式です。)
補足
SU//BC かつ AS:AB=1:2 ですから △ASUの面積:△ABCの面積=1:2^2 と △DPR∽△DSU であることがわかります。 このことから △DPRの面積:△DSUの面積=2^2:3^2=4:9 は上が相似比1:2、下がDR:DU=2:3より相似比2:3だから二乗したんですよね? △ASUの面積=18・(1/4)=9/2 同様に △BSTの面積=△CUTの面積=9/2 と △DPRの面積=(4/9)・△DSUの面積 同様に △DPQの面積=(4/9)・△DSTの面積 △DQRの面積=(4/9)・△DTUの面積 は、△ASU=△BST=△DPRと△DPR=△DPQ=△DQRが成り立たないと成り立たないと思うのですがなぜ同じと分かるのでしょうか?