接線の書き方

質問

紙に放物線が書かれていたとき任意の点で接線を引くにはどうしたらいいですか？
ちなみに座標軸などもなく分かっているのは放物線であることだけとします。

回答No.7

komomomo

＃４です。

純幾何学的な解法は分かりませんが、私の書いたのは座標は全く考慮に入れなくても接線が書けるということです。

座標軸など与えられていなくても、定規が放物線を１点で通る点の線は接線であると言える、ということです。

回答No.6

ikkyu3

No.2です。
＞きちんと数学的に接線であるという証明ができるような引き方を探しています
それでは、紙に放物線が書かれていたとのことですが、これを放物線であると主張するには、この曲線は数学的（幾何学的）に放物線であるという根拠もあると思います。
（ということにさせてください）

放物線：定点Ｆと定点Ｆを通らない定直線ｇから等距離にある点Ｐの軌跡を放物線という。
Ｆをその焦点、ｇをその準線、Ｆからｇに引いた垂線をその軸といいます。

で、これらの要素が既知であるとすれば、後は接線を引く方法は有りますが、だめでしょうか。
また、コンパスと定規で、これらが作図できれば、それでも良いのですが。

回答No.5

jmh

コンパスと定規で？

補足

書き忘れましたがそうです

回答No.4

komomomo

＃２さんの、

「従って何処でも好きなところに（形の良いところに任意に）放物線に接するように、直定規を使って直線を引けばよいでしょう。」

ということが、実は数学的に接線であるという証明ができるような引き方です☆

Mean Value Theorem for Derivatives という法則があって、それは「もし f(x) が [ a , b ] という閉じた範囲で連続で、その範囲で微分できるなら、少なくとも１つの数 c が [ a , b ] の中にある。その c は
(f(b) - f(a)) / (b - a) = f'(c)
の関係式を満たす。」
というものです。

つまり 放物線の x 座標[ a, b ]の間には、少なくとも一つは接線が引ける点 c があるのです。

定規が、放物線の２点を通る間は、もちろん接線ではないです。それは、点（a, f(a)）と点 (b,f(b)) です。その間に、c があるので、もっと範囲を狭くする必要があります。そして定規が１点だけ通る時、それは点（c, f(c)) であり、接線であると言えるのです。

補足

問題にもあるように純幾何的な解法を求めています。座標を考えるのなら座標軸をいかにして作図するところからはじめてください。

回答No.3

Sage-y

こんばんは。

放物線の式を
f(x)=y=ax^2+bx+c
接線の式を
g(x)=y=sx+t
とします。

接線の傾きを求める為にf(x)を微分します。
f'(x)=2ax+b
任意の点を
P(p,ap^2+bp+c)
とすると、点Pでの接線の傾きsは
s=f'(p)=2ap+b
となり
g(x)=y=(2ap+b)x+t
とわかります。
直線g(x)は点Pを通るので
ap^2+bp+c=(2ap+b)p+t
t=-ap^2+c
となり
g(x)=y=(2ap+b)x-ap^2+c
が求められます。

a,b,cは分かっていると言うことなので、与えられた（任意の）点の座標を代入すれば解けます。

がんばってください。

回答No.2

ikkyu3

＞分かっているのは放物線であることだけとします
＞任意の点で接線を引く
ですから、任意の点は無数に存在します。
従って何処でも好きなところに（形の良いところに任意に）放物線に接するように、直定規を使って直線を引けばよいでしょう。
そして、座標もないわけですから、その接点が貴方にとっての任意の点であることにします。

補足

きちんと数学的に接線であるという証明ができるような引き方を探しています

回答No.1

fluffy

普通の時は適当に引きます。テストの時などは重要な点は決まっているのでその点だけをはっきり分かるようにするだけです。

どんな場面なのでしょう？放物線の式が分かっているなら中心に線を引いてだいたいで目盛りを振ってしまいます。

座標系がはっきりしているなら焦点？とX軸に対する角度でも判断可能です。