ナブララプラシアン勾配発散回転についての質問

質問

• 勾配、発散、回転についてわからない点があります。勾配の定義や発散、回転の計算方法について教えてください。
• 勾配（grad）はスカラー関数のベクトル微分であり、発散（div）はベクトル関数の微分の内積、回転（rot）はベクトル関数の微分の外積です。
• 勾配はベクトルの方向に関する変化率を表し、発散はベクトル場の収束または発散の度合いを表し、回転はベクトル場がどれくらい旋回しているかを表します。

回答No.2

alice_44

前回質問に回答した者です。回答の主旨が
御理解いただけてないよういで、残念です。

∇ = (∂/∂x,∂/∂y,∂/∂z) = ex∂/∂x+ey∂/∂y+ez∂/∂z にせよ、
Δ = ∇・∇ = (∂/∂x)^2+(∂/∂y)^2+(∂/∂z)^2 にせよ、
その等号が成り立つ、成立が示せるということではなく、
∇ や Δ を覚えやすくするために、単に語呂合わせとして
そのように書こうよ という提案に過ぎないのです。
殊に ∇ そのものをベクトルであるかのように扱う書きかたは、
div g = ∇・g
rot g = ∇×g
などの標語的表現を派生することができて、益々暗記に役立ちます。

これらの右辺を ∇ = ex∂/∂x+ey∂/∂y+ez∂/∂z を通じて理解するには、
g のほうも g = ex(gx)+ey(gy)+ez(gz) (gx,gy,gz はスカラー)
などと書いて、内積・外積の計算を形式的に行い、
∇・g = (ex∂/∂x+ey∂/∂y+ez∂/∂z)・(exgx+eygy+ezgz)
∇×g = (ex∂/∂x+ey∂/∂y+ez∂/∂z)×(exgx+eygy+ezgz)
を展開すると、
∇・g = (∂/∂x)gx+(∂/∂y)gy+(∂/∂z)gz
∇×g = ex{(∂/∂y)gz-(∂/∂z)gy}+ey{(∂/∂z)gx-(∂/∂x)gz}+ez{(∂/∂x)gy-(∂/∂y)gx}
となって、div g, rot g に一致することを示せばよいのです。
普通のベクトルの内積・外積の計算を知っていれば、できますね？

忘れてならないのは、∇ がベクトルだからそのような計算ができるのではなく、
∇ をまるでベクトルのように扱ってしまえばそう計算できたように見える
だけだという点です。

補足

いつもご回答ありがとうございます。

＞前回質問に回答した者です。回答の主旨が
＞御理解いただけてないよういで、残念です。
申し訳ございませんm（_　_）m

＞忘れてならないのは、∇ がベクトルだからそのような計算ができるの
＞ではなく、∇ をまるでベクトルのように扱ってしまえばそう計算できた
＞ように見えるだけだという点です。
この点に関しては理解しました。
∇をベクトルのように扱えばベクトルにおける内積・外積の計算のように
して表せるという認識ですね？
＞∇ や Δ を覚えやすくするために、単に語呂合わせとして
＞そのように書こうよ という提案に過ぎないのです。
理解できました。

∇・g = (ex∂/∂x+ey∂/∂y+ez∂/∂z)・(exgx+eygy+ezgz)
に関してですが、
内積計算において、
(ex∂/∂x+ey∂/∂y+ez∂/∂z)・(exgx+eygy+ezgz)
を見たことがありません。。。これは内積計算可能なのでしょうか？
通常であれば、
（ax,ay,az）・（bx,by,bz）のようにベクトル同士ですよね？
eは基底ベクトルだから、通常の内積計算同様に計算できるという
認識でOKでしょうか？
内積のように扱っているだけだから特に厳密ではないのでしょうか？

∇×g = (ex∂/∂x+ey∂/∂y+ez∂/∂z)×(exgx+eygy+ezgz)
に関しても同様に、
外積計算において、
(ex∂/∂x+ey∂/∂y+ez∂/∂z)×(exgx+eygy+ezgz)
を見たことがありません。。。こちらも外積計算可能なのでしょうか？
通常であれば、
（ax,ay,az）×（bx,by,bz）のようにベクトル同士ですよね？
eは基底ベクトルだから、通常の外積計算同様に計算できるという
認識でOKでしょうか？
外積のように扱っているだけだから厳密でなくても良いのでしょうか？

こちらに,質問させて頂きました質問の意図としましては、
∇=（∂/∂x,∂/∂y,∂/∂z）=ex∂/∂x+ey∂/∂y+ez∂/∂z
より、（∂/∂x,∂/∂y,∂/∂z）とex∂/∂x+ey∂/∂y+ez∂/∂zは
同じものなのだから、発散や回転においても、
ex∂/∂x+ey∂/∂y+ez∂/∂zを使って表せるのでは？
と考えました。

以上、手数をお掛けしますがご回答よろしくお願い致します。