ナブラ ラプラシアン

質問

ナブラは1階の偏微分演算子で、
∇で表され、∇=（∂/∂x，∂/∂y，∂/∂z）と理解しています。

ラプラシアンは2階の偏微分演算子で、
Δで表され、ナブラ同士の内積から、
Δ=∇・∇=（∂/∂x）^2+（∂/∂y）^2+（∂/∂z）^2
で表されると認識しています。

ここまでの認識は正しいでしょうか？

ナブラの定義についてですが、
∇=（∂/∂x，∂/∂y，∂/∂z）=ex（∂/∂x）+ey（∂/∂y）+ez（∂/∂z）
ex，ey，ezは互いに直交する各方向への単位ベクトルである。
という記述がありました。

ナブラの定義ですが、
∇=（∂/∂x，∂/∂y，∂/∂z）=ex（∂/∂x）+ey（∂/∂y）+ez（∂/∂z）
が正しいのでしょうか？
eは基底を表しているかと思いますが、なぜ基底を取る必要があるのでしょうか？
そしてなんで和で表されるのでしょうか？

以上、ご回答よろしくお願い致します。

回答No.3

alice_44 · ベストアンサー

Δ = ∇・∇ = (∂/∂x)^2 + (∂/∂y)^2 + (∂/∂z)^2
にせよ、
∇ = ex(∂/∂x) + ey(∂/∂y) + ez(∂/∂z)
にせよ、
単なる暗記のためのタトエバナシです。
(∂/∂x), (∂/∂y), (∂/∂z) をスカラーみたいに扱えば、
内積だの、基底上の成分表示だのみたいな式になる…
というだけの話。
歴史年号のゴロ合わせみたいなものだと思えばいい。

∇ を関数 f(x,y,z) に作用させたとき、
∇f = (∂f/∂x, ∂f/∂y, ∂f/∂z)
= ex(∂f/∂x) + ey(∂f/∂y) + ez(∂f/∂z)
と書けますよね。こちらの式の変形は、
基底が出てくることも、和で表せることも、
普通のベクトルの計算だから、疑問はないでしょう？
この ex(∂f/∂x) + ey(∂f/∂y) + ez(∂f/∂z) を、
= { ex(∂/∂x) + ey(∂/∂y) + ez(∂/∂z) } f
と書くことにしちゃおうよ…
と提案しているだけなんです。

Δ = ∇・∇ = { ex(∂/∂x) + ey(∂/∂y) + ez(∂/∂z) }^2
= (∂/∂x)^2 + (∂/∂y)^2 + (∂/∂z)^2
の式で、基底は ex・ex = ey・ey = ez・ez = 1,
ex・ey = ey・ez = ez・ex = 0 によって消えるのですが、
これも、∇ をあたかもベクトルのように扱えばそうなる…
ということです。

∇ は、ベクトルではなく、作用素環上の加群の元だ…
などの話は、ここではひとまず置いといて。

お礼

ご回答ありがとうございます。
理解できない点がありますので、再度質問させて頂きます。

ご回答下されば幸いです。

以上、よろしくお願い致します。

補足

いつもご回答ありがとうございます。

∇に関して、
∇=（∂/∂x,∂/∂y,∂/∂z）=ex∂/∂x+ey∂/∂y+ez∂/∂z
であることは理解できました。
また、Δに関しても、
Δ=∇・∇=（∂/∂x）^2+（∂/∂y）^2+（∂/∂z）^2
となることも理解できました。

ここで、
勾配（grad）は、
スカラー関数をfとすると
gradf=∇f=（∂/∂x,∂/∂y,∂/∂z）f=（ex∂/∂x+ey∂/∂y+ez∂/∂z）f
となることは理解できます。

発散（div）は、
ベクトル関数をg=（gx，gy，gz）とすると、
divg=∇・g=（∂/∂x,∂/∂y,∂/∂z）・（gx，gy，gz）
より計算されますが、
（ex∂/∂x+ey∂/∂y+ez∂/∂z）を使って計算できるんでしょうか？

回転（rot）も同様に、
ベクトル関数をg=（gx，gy，gz）とすると、
rotg=∇×g=（∂/∂x,∂/∂y,∂/∂z）×（gx，gy，gz）
より計算されますが、
（ex∂/∂x+ey∂/∂y+ez∂/∂z）を使って計算できるんでしょうか？

以上、ご回答よろしくお願い致します。

回答No.2

中村 拓男（@tknakamuri）

ex=(1, 0, 0), ey=(0, 1, 0), ez=(0, 0, 1) とすると

∇=（∂/∂x，∂/∂y，∂/∂z）
=（∂/∂x，0，0）+（0，∂/∂y，0）+（0，0，∂/∂z）
　= ex・∂/∂x + ey・∂/∂y + ez・∂/∂z

ですよね。同じものです。

数学的には、ベクトルは単にスカラーの並びですが、
基底を使った表現は、スカラー値がどの基底に基づいているかを
明示します。より厳密な表現と言ってよいと思います。

お礼

ご回答ありがとうございます。

ご回答下さいました内容は理解できました。

補足

ご回答ありがとうございます。

∇=（∂/∂x，∂/∂y，∂/∂z）
=（∂/∂x，0，0）+（0，∂/∂y，0）+（0，0，∂/∂z）
単純にベクトルの足し算しをしているだけですか？

また、ナブラの定義を
ex・∂/∂x + ey・∂/∂y + ez・∂/∂z
とすると、ラプラシアンには基底はつかないのでしょうか？

以上、お手数をお掛けしますがご回答よろしくお願い致します。

回答No.1

Tacosan

ex, ey, ez をそれぞれ x, y, z 方向の単位ベクトルとすると
(1, 2, 3) = 1 ex + 2 ey + 3 ez.

お礼

ご回答ありがとうございます。

ご回答下さいました内容は理解できました。